free hit counters

Trisekcija kuta 1. dio

TRISEKCIJA KUTA

1. DIO
KOSNTRUKCIJA KVADRATA I DVANAESTEROKUTA

Ako je netko i pomislio da sam izgubio nit koja me veže za djecu (a i sam sam veliko dijete jedne beskonačnosti), vara se jer ova knjiga i nastaje u kratkom vremenskom roku a kako je doba ljeta po sebi znam da je to djeci doba odmora od učenja, doba dječje igre, sunca, mora (a pritom mislim na dolazeće pokoljenje po drevnim normama koje će sigurno biti nasljednik ovog drevnog novog). A kako se ponovo bliži početak školske godine odlučio sam ih polako uvesti u nju, a opet na najjednostavniji način kako kažu u „najslavniju“ enigmu koju su nam „u nasljeđe“ ostavili drevni matematičari iako se sa tom definicijom ne slažem jer čisto geometrijski gledano ona je najjednostavnija. Zašto? Zato jer je „jednodimenzionalna“, a to bi značilo još – podijeljena – „dvodimenzionalnost“ jer u dvodimenzionalni geometrijski svijet spada kvadratura kruga (enigma) koja je već prikazana za djecu i odrasle ali ćemo je još pojednostaviti, dok najobičnija je kubna enigma, podvostručavanje kocke i slovi kao trodimenzionalna enigma. Za svaku od tri enigme uvijek su potrebne određene predradnje – naravno uvijek po pravilu – šestarom i ravnalom bez mjera – a da bi se približili što više današnjoj geometriji treba dobro razmisliti koji „uzorak“ se može toliko skratiti a da se ne poremeti drevno-geometrijska ravnoteža s jedne, a shvati se jednostavnost današnjice, s druge strane, na koju nailazimo na stranicama današnjih udžbenika matematike (geometrije). Zato ćemo i krenuti sa pripremom, još više pojednostavljeno sa konstrukcijom kvadrata te njegovom opisnom kružnicom i njenom podjelom na 12 dijelova. Ona će nam biti onda „oruđe“ – „uzorak“ za trisekciju kuta, odnosno njena četvrtina (inače taj se uzorak koristio za tlocrtno određivanje gabarita objekata na terenu još dok su građevinari koristili osim mjernog užeta i visak što je danas rijetkost – a o visku postoje zapisi još u biblijskim vremenima.)

Dakle, počnimo sa konstrukcijom kvadrata na najjednostavniji način.

* * *

Zadana dužina podijeljena simetralom na dva jednaka dijela (djelomično vidljivim kružnicama iz krajnjih točki dužine – gdje se sijeku – simetrala

* * *

Simetrala siječe (dijeli) dužinu na dva dijela. Iz te središnje točke, a radijusom krajeva dužine opišemo polukružnicu. Sjecište njenog luka i simetrale dužine je središte. Sa krajeva dužine kroz tu točku „provučemo“ polupravce.

* * *

Iz tog središta opišemo kružnicu radijus-središta right krajevi zadane dužine te povežemo sjecišta polupravaca na kružnici – kvadrat zadane dužine a polupravci su dijagonale kvadrata.

* * *

Opisna kružnica ima svoj radijus . Istim radijusom, a iz jednog vrha kvadrata podijelimo je na 6 dijelova.

* * *

Pa zatim iz drugog vrha zadane dužine podijelili smo opisnu kružnicu kvadrata na 12 dijelova – 12-erokut.

* * *

Za trisekciju koristiti ćemo jednu četvrtinku i to još skraćenije – pojednostaviti – približiti se nacrtno današnjoj geometriji – jer nam je cilj trisekcija kuta.

* * * *

TRISEKCIJA KUTA (JEDNOSTRUKA)

Kada izumre ovo naše pokoljenje i kada neko buduće stasa sigurno će smiješnim biti da je još uvijek danas nam „nemoguća“ trisekcija samo sa šestarom i ravnalom bez mjera a još više biti će smiješna računska diskusija bez ijednog poteza, pa ispada u većini slučajeva da je podjela sa prostim brojem manje-više iracionalan broj tako da je svako rješenje unaprijed opečaćeno kao „iracionalno“ ili samo „približno točno“ ili jednostavno „nemoguće“ bez dodatnih oruđa uz šestar i ravnalo bez mjera. Bilo bi smiješno i onima koji su bili davno prije nas i koji su sekcioniranje koristili i to ne samo u graditeljstvu.

No, ipak je drevna geometrija zahtjevno znanje ako je „puna“, a to znači crtana bez skraćivanja, bilo zaobljeno bilo pravocrtno, zato pokušavam skratiti toliko da se taj „prijelaz“ iz drevnog u današnje olakša – osim što zadržavam pravilo: bez obilježavanja bilo slovom ili brojem, jer bi obilježavanje unijelo pometnju u umanjilo percepciju uma kao što svako obličje to i čini bilo u religijskom ili umjetničko-naučnom smislu, tako da je logično što ne možemo zamisliti puno toga pa se stvorila u nama duga tradicijska slika prosjeka – najgoreg pronalaska koji uvijek daje krive zaključke i rezultate jer nije egzaktna – jednaka za svaku jedinku. No nastavimo naš put i pređimo da trisekciju kuta – najprije „jednostruku“ za kutove do 90°.

* * *

Ako je zadan kut manji od 90° on ima svoju luk, svoju tetivu, svoju simetralu (simetrala je početak diobe jer dijeli kut na dva jednaka dijela, tetivu mu i luk.

* * *

Kao što smo rekli kod konstrukcije kvadrata, pola zadane dužine i polukružnica radijusa polovine dužine na simetrali je središte opisne kružnice kvadrata stranica veličine dužine. Zato primijenimo isto na tetivi kuta (uzmemo je kao stranicu kvadrata).

* * *

Iz tog središta opišemo kružnicu radijusa središte krajevi tetive. (Luk kružnice kvadrata je iznad luka zadanog kuta, a to potvrđuje da je zadani kut manji od 90°.

* * *

Ovim prikazom samo potvrđujemo konstrukciju kvadrata stranica mu veličine tetive zadanog kuta ali u daljnjim koracima izostaviti ćemo to, te „imati samo na umu“.

* * *

Dakle, samo nasumce zadani kut, njegov luk, tetiva mu, simetrala kuta, središte (koje je uvijek na simetrali kod podijeljena dva dijela) te opisna kružnica radijusa-središte krajevi tetive.

* * *

Dakle, opisna kružnica kvadrata ima svoj radijus a prolazi krajevima tetive nasumce zadanog kuta. Sada istim radijusom podijelimo kružnicu na 6 dijelova polazeći iz jednog vrha tetive.

* * *

Pa onda iz drugog vrha tetive istim radijusom dijelimo na još šest dijelova – ukupna podjela – 12.

* * *

Tri su dijela na luku kružnice iznad luka i tetive nasumce zadanog kuta. Ucrtamo polu-pravce . Oni dijele luk nasumce zadanog kuta na tri jednaka dijela (ne njegovu tetivu). Dobili smo tri istokračna trokuta koji su jednaki. To je trisekcija zadanog kuta.

* * *

A ovako bi izgledala najkraća slika iste trisekcije koju smo prikazali na ovim stranicama do sada. Nasumce zadani kut – luk mu – tetiva – simetrala – polukružnica radijusa jedne polovine tetive – središte opisne kružnice kvadrata stranice veličine tetive, podjela kružnice iz vrhova tetive istim radijusom. Polovi podjele iznad luka, iz njih a u pravcu vrha zadanog kuta polupravci – dijele luk zadanog kuta na 3 jednaka dijela = trisekcija (jednostruka) kutova manjih od 90°.

* * * *

DVOSTRUKA TRISEKCIJA KUTA
ZA KUTOVE DO 180°

Trebamo znati, nikada se osim u iznimkama ne može zadani kut trisekcionirati neposredno već upravo posredno putem „iznimaka“. To je u ovom slučaju dvanaestero-kut – kada je uzeta tetiva kao stranica kvadrata. Te „iznimke“ nazivam „oruđem“ sekcioniranja jer je tu još jedna zakonitost. Luk „oruđa“ uvijek je veći od luka zadanog kuta – iznad – izvana.

Drugo, kod trisekcije oruđe nikad ne prelazi 360°. Prema tome „oruđe“ puta 3 (zato kut 180° je nepodoban za trisekciju (3 x 180 = 540°) – krajnje oruđe je 120°. Zato primjenjujemo osim jednostrukost i dvostrukost, ako treba i trostrukost, ali svako za se.

Kako? Pokazat ćemo na kutu većem od 120° a manjem od 180°.

Ovoga se načina ne trebate plašiti. Samo slijedite upute iz prvog dijela ali dva puta. Da li usporedno odjednom ili svaki dio posebno (za se), svejedno je. A onda je dovoljno samo iz krajnjih točki luka nasumce zadanog kuta izvršiti podjelu na kružnicama (potpuno skraćeno – jer „imamo na umu“).

* * *

Dakle, nasumce zadani kut sa svojim lukom i svojom simetralom.

* * *

Tu je razlika – dvije tetive (iste veličine)

* * *

Sada i njih podijelimo, svaku svojom simetralom.

* * *

Za svaku primijenimo princip jednostruke, dosad opisane konstrukcije – dvostruko. For each we apply the simplex principle of the described construction up to now – twice.

* * *

Svaka tetiva ima svoju opisanu kružnicu (svaka je tetiva stranica svog kvadrata)

* * *

Izostavimo pune kružnice a ostavimo samo svakoj dio svakog njenog luka iznad svoje tetive.

* * *

Tim radijusom svaki dio luka iznad luka nasumce zadanog kuta, a iz krajeva tetiva, izvršimo diobu.

* * *

Dakle imamo 3 i 3 dijela na svakoj polukružnici iznad luka kuta koji sekcioniramo. Iz prvih točki (polova podijele) a uz simetralu polupravci prema vrhu zadanog kuta dijele luk zadanog kuta na tri jednaka dijela. To je trisekcija kuta većeg od 90° a manjeg od 180° (dvostruka).

* * *

A ovo je samo prikaz unutarnje diobe polukružnicama (svaka za sebe) svojim 12erokutom.

* * *

A da je još pun i vanjski sistem (izvan kružnice) bilo bi za početak „pregrubo za onog koji tek ulazi u svijet geometrije, a i da se ne izgubimo).

* * * *

POGOVOR

Ako naučite ovaj postupak , pa vam bilo tko i bilo gdje kaže da to nije točno, onda neka vam zada kut da ga riješite principom tetive kao stranice kvadrata i njegove opisne kružnice podijeljene na 12 dijelova. Ako pak onda reče da je rješenje približno, to bi bilo isto kao da netko ustvrdi da kružnicu njen radijus ne dijeli na 6 dijelova a još njihove simetrale na 12.

Samo treba upamtiti:
Nikada se trisekcija zadanog kuta ne sprovodi direktno nego posredno na njegovu luku uz pomoć „iznimaka“, „oruđa“ to jest, dokazanih dioba nasumce zadanog kuta a u pravcu vrha (to vrijedi za sva sekcioniranja – 3, 5, 7, itd.). Zašto to netko već odavno nije uočio, ne znam. A zašto to nitko ne prihvaća – slutim. Možda zbog izjave od koje ne odstupam. Molitvom sam upitao onog koji je prije više od 3000 godine dao smjernice za skladan život sa prirodom i naše punopravno mjesto u njoj a prije više od 2000 godina jedan drugi je zbog toga raspet (pitam se nije li to bio onaj isti?). Danas od toga svi „bježe“ jer „onog“ više nema, a ima li ga ili nema, to ne znamo jer možeš i ne moraš vjerovati. Ali postoji mogućnost da se sve to može raščistiti jer nije ezoterija ni magija a niti teorija, već zbilja, projekt koji sam obećao prikazati u nekom od sljedećih poglavlja. Pa, kada savladate ovu vrstu trisekcioniranja, možete samo reći – JA ZNAM.

* * * * * *

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv