free hit counters

Osnovna trisekcija sheme „A“

OSNOVNA TRISEKCIJA SHEME „A“

ZA KUTOVE VEĆE OD 90° UZ PRIMJER TRIESEKCIJE
NASUMCE ZADANOG KUTA

O shemi „A“, njenom drugom – dvostrukom dijelu

Kao što sâm naslov govori, jasno je da ćemo upotrijebiti podjelu ne na jedan segment nego na dva segmenta šesterokuta, na 3+3 dijela a onda ga svesti na svaku drugu diobu, da bi dobili tri dijela iz dva segmenta šesterokuta. Netko će pomisliti da je to nepotrebno jer bi bilo dovoljno dva segmenta odjednom podijeliti na tri dijela; ali postoji jedna zakonitost podjele luka dva segmenta, koja glasi:

Luk koji dijelimo mora uvijek biti manji od luka s kojim dijelimo. Obratno, samo u pojedinim, ali ne općim slučajevima.

To bi se moglo usporediti s obradom materijala. Ne obrađuje se kamen s kamenom nego željezom.

Iako postoje mogućnosti podjele kutova na tri dijela na niz drugih načina, ipak „A“ shema podjele kojoj pripada dvostruka trisekcija (dva segmenta šesterokuta) je jednostavna trisekcija koja, doduše, u sebi osim potvrde ispravnosti trisekcije jednog segmenta šesterokuta, nosi nekoliko podataka koji su važni u drevnoj geometriji, ali ćemo ih izostaviti i ciljano se usredotočiti na princip podjele (trisekcije kuta većih od 90° – pravoga kuta) korak po korak.

* * *

Kao uvijek, nacrtamo kružnicu i podijelimo je njenim radijusom sa šest kružnica i tako dobijemo šesterokutni cvjetoliki uzorak – šesterokut kome omeđimo dva segmenta kao kutove od 60° sa tetivama njihovih lukova.

* * *

Lukove i tetive podijelimo simetralama (da nismo nacrtali kružnicu s njenih šest istih kružnica, ne bi simetralu mogli odmah nacrtati, a upravo je to nacrtano – jedna od prednosti drevne geometrije).

* * *

Svakom od dva segmenta šesterokuta ucrtamo kružnicu dijametra tetive segmenta A. Središte su im simetrale.

* * *

Te kružnice, jednu po jednu, podijelimo na šest dijelova. (Ovoga puta skraćeno – bez njenih šest diobenih kružnica, jer tražimo samo trisekciju svakog od dva segmenta).

* * *

Kao kod „A“ sheme, podjele na tri dijela, tako smo na ovaj način završili prvu fazu trisekcije istovremeno na dva šesterokutna segmenta.

* * *

Svaka od dvije kružnice ima svoj pravi kut, a njihovi vrhovi su svaki na svojoj simetrali.

* * *

Svaki pravi kut tih manjih šesterokuta (šesterokutna dva segmenta) ima svoj luk pa ga ucrtavamo.

* * *

Sada primjećujemo jednu novinu: dvije latice cvjetnog uzorka manje kružnice – njihovi vanjski bridovi, sijeku luk pravog kuta na tri jednaka dijela. Za jednog i za drugog vrijedi isto pravilo. Sada ciljano možemo skratiti postupak i time završiti drugu fazu sekcioniranja po „A“ shemi.

* * *

Ipak, radi jasnoće i učvršćivanja znanja, možemo ponovo pokazati diobe kutova 90° male kružnice, njihovih lukova, svakog za sebe.

* * *

Iz tih diobenih točki kutova 90° a prema središtu osnovne kružnice povlačimo polupravce koji dijele luk osnovne kružnice, njena dva segmenta svakog za se, na 3+3 dijela.

* * *

Tako smo ustvari podijelili luk dva segmenta osnovne šesterokutne kružnice na 6 jednakih dijelova. Dakle: 2×60° = 120°÷6 = 20°. Dobili smo 6 segmenta u dva segmenta šesterokuta po 20°.

* * *

A kako je deveterokut 360° ÷ 9 = 40° tražimo ih spajanjem dva + dva + dva. Tako dobivamo 3 istokračna trokuta čiji su vršni kutovi 40°, dakle 3 x 40° = 120°. Trisekcionirati na ovaj način možemo bilo koji nasumce zadani kut do 120°. To je dvostruka shema „A“ za kutove veće od 90°.

* * * * * *

Primjer trisekcije kutova većih od 90°

Ponovimo:

U prvom poglavlju, putem sheme podjele jednog segmenta šesterokuta naučili smo trisekcionirati bilo koji zadani kut do 90°, obrascem u tri faze i nazvali smo ga jednostavnom „A“ shemom podjele (ili trisekcije) na tri dijela. Naučili smo važan detalj, a to je da se dijeli luk šesterokutnog segmenta jer podjela luka trisekcionira kut.

U drugom poglavlju pokazali smo shemu „A“ samo u dvostrukom prikazu u dva segmenta koji je potreban za trisekcioniranje kutova većih od 90°.

Sigurno da je trisekcioniranje bitan element drevne geometrije jer daje svojim raznim opcijama niz novih podataka a koji će biti prikazani u nekim od narednih poglavlja, a kako smo samo koncentrirani na trisekciju, skraćujemo način drevno-geometrijskog crtanja iako samim time uskraćujemo si niz podataka koji bi iz tog proizišli jer, podsjetimo se, svi se kružni prikazi u drevnoj geometriji, svetoj ili prirodnoj, crtaju punim kružnicama a početna kružnica uvijek je šesterokut i ogledalo je svih nastalih podataka.

Ipak, posvetimo se primjeru nasumce zadanog kuta većeg od pravog kuta po shemi „A“.

Imamo kut veći od 90° nasumce odabran kao i njegov luk; podijelimo ga na dva dijela simetralom tako da smo time dobili njegova dva segmenta sa tetivama.

* * *

Svaki segment (od dva) nastali simetralom sa svojim tetivama podijelimo svakog svojom simetralom koja siječe svaku od dvije tetive na dva jednaka dijela.

* * *

Sjecišta simetrala i tetiva središta su dvije kružnice a svaka ima promjer (brojkom 2 r) svoje tetive.

* * *

Njih svaku za sebe podijelimo na šest dijelova tako da dobijemo dva cvjetolika uzorka.

* * *

Na taj smo način završili prvu fazu trisekcijskog obrasca „A“ sheme.

* * *

Svaka od ovih kružnica ima svoj pravi kut čiji je vrh na svojim simetralama. Kao što vidimo, nisu im vrhovi na simetrali nasumce zadanog kuta većeg od 90°.

* * *

Svaki pravi kut svake kružnice ima svoj luk koji je veći od luka nasumce zadanog kuta, ali im je dodirna točka na simetrali i luku zadanog kuta (njihovom sjecištu).

* * *

Kao što smo naučili u prvom poglavlju „A“ sheme trisekcioniranja jednog šesterokutnog segmenta, a u ovom na shemi dvostrukog šesterokutnog segmenta, luk pravoga kuta podijeljen je na tri dijela polupravcima: vrh pravog kuta, njegovi polovi male šesterokutne kružnice promjera tetive segmenta (u ovome dvostruko) jer upravo su te trisekcijske točke na lukovima 90° važe za trisekciju nasumce zadanog kuta.

* * *

To su trisekcijske točke kružnica pravog kuta promjera tetive (2 x) kao što vidimo.

* * *

Nas zanima, prvo sjecište uz simetralu nasumce zadanog kuta iz trisekcijskih točki pravog kuta bliže simetrali. Polupravci iz njih ka vrhu nasumce zadanog kuta opet sijeku njegov luk na tri jednaka dijela.

* * *

Tako smo uz pomoć obrasca „A“ sheme dvostrukim trisekcioniranjem podijelili luk nasumce zadanog kuta i na taj način trisekcionirali, samo sa šestarom i ravnalom bez mjera, kut veće od 90°. Zašto moramo tako postupiti, objasnit ćemo u poglavlju o približnim trisekcijama (greškama).

* * * * * *

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv