free hit counters

Podvostručavanje kocke

PODVOSTRUČAVANJE KOCKE (početak)

Polako se približavamo enigmi koja postoji još od vremena drevnih Grka pa preko srednjeg vijeka, dakle od Platona preko Leonarda, Keplera, Leibniza, Gaussa, Riemana, Descartes, J.J. O’Connora, E.F. Robertsona i drugih, enigma koja u sebi nosi (ako je vjerovati legendi) nešto što je bilo pogubnu za Atenjane. Stoga ipak nerado iznosim taj problem promatrajući iz svog kuta zbivanja u drevnim vremenima pa i ne tako drevnim (kada prouče čitatelji legendu o podvostručavanju žrtvenika-kocke, a naći će je na stranicama interneta, onda će shvatiti o čemu govorim i tek onda će moći shvatiti o čemu ću im još govoriti. Sigurno se radilo o podvostručavanju povijesno djeci poznatog Zeusovog žrtvenika (oltara) u Ateni i o geometriji koju su Grci zapostavili na ovaj drevni način a koja je zapostavljena i dandanas. Da li je riješen ili nije za sada nemamo dokumenata, ali čini se da ipak nije jer kod starih Grka oko matematike i geometrije se vodila rasprava i mudrovanje – a ponavljam – geometrija se crta a crtanjem se otvaraju „vrata po vrata“ koja vode rješenju a potom je logika jednostavnog broja samo provjera koja poništava briše sumnju pa provjereno primijeni svrhovito. Taj je način davno opisan u Mojsijevoj knjizi Izlaska i on je meni pomogao u radu prije desetak godina. Naime, Mojsije je vidio nacrt-uzorak, omjere, razmjere za izradu kovčega ploča zapovijedi i šatora sastanka te svih njegovih dijelova. Odabran je bio izvođač kao nadahnut čovjek svakim umijećem. Narod je donosio materijal, grupe su radile po uputama, a kada je svaki dio bio napravljen Mojsije ga je provjerio. Bio je zasigurno potreban jedan dan da se sve sklopi – sistemom montaže – prije više od 3000 godina (mada mi je ostalo pitanje kako je bilo moguće tako precizno obraditi bagremovo drvo, jedno od najtvrđih, do dana današnjega, a nije poznavao željezno oruđe?). No, zanemarimo to, nego se okrenimo kocki korak po korak (iako će se na kraju ispostaviti veza između kovčega za zapovijedi i udvostručene kocke). No. Moramo upoznato kocku – njenu diobu na jednostavne cjeline i niz elemenata da bi dobili rezultat – univerzalni princip podvostručavanja koji se logično bazira opet na odnosu brojeva međusobno baš kao i već djelomice obrađeno i sekcioniranje i kvadriranje (nacrtno).Ipak će biti potrebno nekoliko poglavlja, jer prelazimo (a već smo načeli principe podjele kocke) u treću dimenziju, a moj osjećaj je čak i tjelesan, u jednu dimenziju više.

Najprije, što je kocka (nacrtno)? Geometrijsko tijelo sa šest stranica i dvanaest bridova i osam uglova. Naučili smo kako se konstruira (i to u geometriji za djecu) i njenu diobu. Dobro je onda da počnemo od broja njenih šest stranica, i to 6 x 6 x 6 = 216 = 63 i dalje. Taj kub 6 trebao bi biti kao osnova – osnovna kocka. Dakle, krenut ćemo općenito drevno geometrijski, korak po korak, samo sa šestarom i ravnalom bez mjera – i zasada skraćeno.

* * *

Kružnica podijeljena svojim radijusom na šest dijelova – cvjetni uzorak 6.

* * *

Cvjetni uzorak 6 zamijenimo pravcima koji čine šesterokut kružnice.

 

* * *

Pravcima od pola do nasuprotnog pola podijelimo kružnicu na 6 dijelova – kocka (kako smo već naučili u prijašnjim poglavljima).

 

* * *

Zvjezdasti šesterokut šesterokuta kružnice.

 

* * *

Koristimo sjecišta zvjezdastog poligona za podjelu na kub 3 (3x3x3) tako da pravce „pustimo“ izvan kružnice – sistemom – okomito…

 

* * *

… bočno jednom (uz dijametre)…

 

* * *

… drugo bočno. Na stranici šesterokuta otvaraju se takvom diobom nova sjecišta („vrata“).

 

* * *

Povezujemo ih pravcima – okomito.

 

* * *

Bočno – jednom

 

* * *

Bočno drugi put – kocku smo podijelili na 3x3x3x = kub 3.

 

* * *

Uz dijametre kružnice nastala su križišta koja nam služe da kub 3 podijelimo na dva dijela 6x6x6 = kub 6, dakle, okomito uz dijametar

 

* * *

Bočno (obično se radi i sa jedne i sa druge strane dijametra)

 

* * *

Bočno križišta uz dijametar.

* * *

Druga su križišta bliže središtu (križišta pravaca pol-suprotni pol i zvjezdastog poligona) okomito

 

* * *

Bočno

 

* * *

Pa drugo križište bočno

 

* * *

Takvom diobom dobili smo sjecišta uz i na stranicama šesterokuta pa ih spojimo – okomito

 

* * *

Bočno

 

* * *

I završno bočno (pravcima koji prelaze kružnu granicu – luk (podijelili smo kocku na kub 6 = 216 dijelova iste veličine

 

* * *

A izvan kružnice produženim pravcima diobe kocke dobili smo nova sjecišta te ih opišemo kružnicom u području vrhova dijametara – polova.

 

* * *

Na kocku (kub 6) 216 dijelova dobili smo 6 ploha čiji su dijelovi iste veličine a svaka ploha ima 36 dijelova. Dakle 6 x 36 = 216 dijelova – isto kao i kocka osnovne kocke.

* * *

Našem vidnom polju ne bi bila primjetna ova konstrukcija jer pod tim se kutom vide vrhovi ploha iza, pa nam „popunjavaju vidik“. Mi smo dobili isti broj jednakih dijelova i prividno smo podvostručili kocku ali to nije podvostručena kocka jer u „omotu“ osnovne dakle ima previše dijelova u odnosu na kocku 12 bridova x 6 dijelova = 72 + 8 uglova = 80 dijelova previše. Dakle, pred nama je zadatak da „izblanjamo“ 6 ploha „nalijepljenih“ na plohe osnovne kocke i time popuniti bridove sa uglovima za onoliko koliko je potrebno da bi volumen bio dvostruka kocka. Ako bi koristili radijuse dviju kružnica pojavio bi se još jedan paradoks. Zato ćemo koristiti čistu punu geometriju u sljedećem poglavlju. Tu se već pojavljuje, mada nismo nacrtno inzistirali i sa stupom mjera broja 3 – dvanaestinom , a koja onda povećanjem izvan kružnice čini četrnaestinu ili odnos šestina i sedmina, a to je biblijski odnos između ljudske i anđeoske mjere. Kakav je i kako je taj odnos povezan sa ovim podvostručavanjem vidjet ćemo također.

* * * * * *

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv