free hit counters

5 i 7 sekcioniranje

5 i 7 SEKCIONIRANJE

Iako nije direktno vezano za temu kocke (a pokazati će se kao indirektna poveznica u kasnijim poglavljima), ipak sam odlučio skrenuti malo sa „pravocrtnog“ puta i dodati podatke koji otud proizlaze ne bi li se konačno nekom otvorile oči i sagledano bilo ono što već u mnogim poglavljima ponavljam, a što je temelj ove geometrije koja jedina može otvoriti sve pečate „nemogućeg“ jer je od ovog svijeta, ali ne ovakvog geometrijski „akrobatskog“ već skladnog i jasno jednostavnog bez obzira koliko se to nama drugačije činilo. Zato je logično da se ponekad, blago rečeno, uznemirim kad u ruke uzmem enciklopedije (a posebno mi je bila draga Larousseova) pa shvaćam da neki prepravci čak i drevnog znanja datiraju ne samo od prije 100 nego i 200 i više godina, i dan-danas ostaju „nemogućnosti“ ili „usklađeni kompromisi“, ne toliko zbog toga što je tome tako, nego zato što djeca u školi tako moraju učiti i to zbog silne „akrobatike“ koju će djeca i tako i tako zaboraviti a što je samo znak da civilizacija zastaje i tapka na mjestu. Mnogo ima onih koji bi željeli neke nove vidike, ali se boje toga novog pa radije ostaju u poznatom. Često puta mi pada napamet misao kako onaj koga spominjemo kao „gospodina Boga“ ima strpljenja s nama (što je pokazao prije 2000 godina kada je bio na Zemlji i širio svoju riječ. Rekao je: „Dokle ću vas još trpjeti?“ (Evanđelje).

Ja sigurno ne bi imao toliko strpljenja, jer sam čovjek. O čemu se ovdje radi? Radi se o geometrijskim osnovama. Navedimo neke od njih:

  • kružnica nekog radijusa je osnovna kružnica i ogledalo je svih radijusa unutar i izvan sebe, a njen je radijus dijeli na šest dijelova (svaki drugi njen radijus dijeli luk na drugačiji broj podjela, a dioba drugih radijusa se vrši tako da se krene šestarom iz, obično, njenog vršnog pola diobe njenim radijusom i dioba se u njemu završava. To rezultira drugim brojem podjela
  • više ili manje od 6, a to znači druge veličine vršnog kuta su u njenom središtu (po tom principu se izračunava samo sa šestarom veličina nasumce zadanog kuta – 7. poglavlje. Što se pak tiče sekcioniranja – 3, 5, 7… sekcioniranja se vrše uvijek posredno (a sve drugo je akrobatika). Pomoću kodnih podjela osnove 60°, 90° i 120° ili njihovom dvostrukošću, trostrukošću, ako treba i više, ali to je nepotrebno, jer kodni sistem 120° je dovoljna za diobu 3, 5, 7 bilo kojeg nasumce zadanog kuta do 120°. Kodni sistem „Cvijet života“ je pokazatelj, inače preciznijeg sistema diobe punim kružnicama, ali za prostor je skladniji diobeni pokazatelj zvjezdasti šesterokutni poligon ili popularno nazvan Davidova zvijezda, dok se njegov dvostruki uzorak koristi kao sistem mjera (podjela dijametra na polovine, trećine, petine, sedmine ili dvostruko, trostruko, itd.), a spada u pravocrtno crtanje ravnalom bez mjera (čitaj: mjerna trske bez oznaka) jer su suglasju sa zaobljenim crtanjem šestarom (čitaj: mjerno uže bez oznaka) čini osnovu geometrije ovog prirodno skladnog načina. No tko zna koliko puta ću ovo morati detaljno ponavljati da bi nekom od relevantnih sinulo da upita, ako već ne vjeruje da se potrudi da isproba slijedom ovih uputa ili onih iz prijašnjih stranica. Zato sam „skrenuo“ prikazati konstrukcije 5 i 7 te njihovo sekcioniranje nasumce zadanog kuta, postupno, korak po korak, crtež po crtež, od osnovnog do finalnog dijela.
* * *

Dakle: Radijus – njegova kružnica iz jedne točke (vršni kut) dijeli je na šesti dijelova (ispravno prikazano sa diobenim kružnicama istog radijusa – logično)

* * *

Diobene se kružnice sijeku. Ta su sjecišta drugog radijusa. Ako taj radijus uzmemo u šestar i krenemo s diobom iz vršnog pola osnovne kružnice…

* * *

… pa onda istim radijusom iz svakog joj od 6 polova dobijemo nova sjecišta unutar kružnice i izvan nje. Zbog prostora smo skratili crtanje punim krugovima a dobili bi izvana još sjecišta drugih radijusa, drugih podataka).

* * *

Sada uzmemo u šestar prva vanjska sjecišta (izvan kružnice). To je novi radijus. Opet diobu tim radijusom počnemo iz vršnog pola.

* * *

Onda, tim radijusom iz svakog pola osnovne kružnice i njega ćemo skratiti iako bi i on donio nove radijuse – podatke izvan kružnice kad bi se crtalo punim kružnicama. No nama je dovoljno, jer je taj radijus osnovnu kružnicu podijelio na 12 dijelova (12 polova na njenom luku).

* * *

Vratimo se sada rasponom šestara na prijašnji radijus. I iz tih novih polova ponovimo kao iz prvih šest. Prije smo dobili šesterokutni zvjezdasti poligon, a sada još jedan koji se preklapa sa prvim a zajedno tvore nova sjecišta unutar i izvan luka osnovne kružnice.

* * *

Nas zanimaju: prva izvan kružnice…

* * *

… i prva unutar kružnice. Što to čine veličine – radijusi njihovih kružnica na luku osnovne prve kružnice ili kružnice koje je odražavaju?

* * *

Dakle: Vanjski radijus dijeli osnovnu kružnicu iz njenog vršnog pola na pet jednakih dijelova (peterokut). A kada bi još ponovili iz nasuprotnog pola – 10-erokut, iz 3 (svaki drugi od 6) – 15-erokut, iz 4 (svaki drugi od 12) – 20-erokut, itd., itd.

* * *

A unutarnji radijus (prva sjecišta unutar osnovne kružnice) dijeli osnovnu kružnicu, njen luk iz vršnog pola – na sedam jednakih dijelova – sedmerokut (iz 2 suprotna – 14-erokut, itd. itd.)

* * *

A jedan i drugi izgledaju ovako. Što će ona dalje donijeti, to ćemo u jednom od idućih poglavlja saznati. Dakle, nama je bitan samo rezultat, i to samo sa šestarom.

* * *

A ovako ako dodamo pravocrtno im zvjezdaste poligone (nova sjecišta, novi radijusi u odnosu na samo zaobljeno crtanje).

* * * *

DRUGI NAČIN
(prikladan za sekcioniranje)

Što će to i čemu to? Ciljani je to prikaz da se shvati da između zaobljenog (doduše skladnijeg crtanja) i pravocrtnog (pravolinijskog) crtanja postoji razlika. Svako na svoj način daje podatke – sjecišta – radijuse. Sigurno je da je početak bio zaobljeno geometrijsko crtanje, ali oba načina zajedno daju puno više podataka – sjecišta – radijusa. Ciljano je zato jer ćemo usput kratko se osvrnuti na sekcioniranje istim (5-erosekcija i 7-erosekcija) iz razloga: da se potvrdi da je sekcioniranje potreban jedinstven princip – kod – obrazac da se bilo koji kut može podijeliti na dijelove. O trisekciji je već toliko toga iscrtano u ovim tekstovima da bi već i drveće oko ove moje vrtne kućice gdje sve ovo i radim već shvatilo princip (iako ga u sebi sigurno sadrži na svoj način – a evolucijski su starija živa bića od nas pa po tome zaključujem da bi trebalo postojati zapisano i u našem genetskom kodu – samo razmišljam, pa mi ne zamjerite). Dakle, za bilo koje sekcioniranje bilo koje nasumce zadanog kuta potreban je princip – „oruđe“. Dakle, treba ga najprije formirati, a to je obično kružnica koja nije luk nasumce zadanog kuta. Zajedničko sa njime je tetiva, čiji su krajevi polovi budućeg „oruđa“ te simetrala nasumce zadanog kuta na kojoj je jedan od polova šesterokutne kružnice ili vršni kut istostraničnog trokuta veličine stranice – tetive nasumce zadanog kuta. Ali pogledajte i kraći, prostorno prikladniji način formiranja 5-erokuta, i 7-erokuta putem šesterokutnog zvjezdastog poligona. Doduše, osnovna podjela treba biti precizna a onda pravocrtna jer mali pomak može donijeti samo približne rezultate ali ako se to i dogodi – nebitno je. Princip – način – on je važan kao obrazac. Pa pogledajmo. Još jednom ovo je samo „izlet“ ali koristit će pri rješavanju onog što smo najavili u prijašnjim poglavljima i – dobro ih je znati.

* * *

Kružnica podijeljena svojim radijusom na šest dijelova.

* * *

Šesterokutni zvjezdasti poligon te iste kružnice.

* * *

Njegovi nasuprotni polovi i njegova sjecišta (nasuprotna) pravcima kroz središte dijele luk kružnice na 12 jednakih dijelova – 12-erokut.

* * *

U šestar uzmemo raspon – vršni pol – sada svaki četvrti – skraćeno – polukružnicom.

* * *

Tako tim radijusom iz svakog od 12 polova. Tvore se sjecišta izvan i unutar kružnice. Zanima nas prva izvan i prva unutar luka osnovne kružnice te ih opišemo iz središta njihovim kružnicama. Vanjska je većeg a unutarnja manjeg radijusa od osnovne (šesterokutne) kružnice.

* * *

Radijus veće (vanjske) dijeli osnovnu kružnicu iz vršnog pola na 5 dijelova a radijus manje iz istog vršnog pola dijeli osnovnu na sedam dijelova. I opet bi dobili iz dva nasuprotna pola 10-erokut odnosno 14-erokut i tako dalje sve do 12 puta (uvijek nasuprotni polovi – kako bi rekli drevni Egipćani – „kako gore tako i dole“).

* * * *

Podjela kružnog luka na 5 i 7 dijelova je osnova za izvedbu sekcioniranja na 5 i 7 (kao i na druge kutne veličine) pa ćemo iskoristiti te uvjete po uzorku na trisekciju, dakle shemu za kutove do 120° tako da za 5-erosekciju koristimo podjelu na 5 iz 3 pola – 15-erokut, a za 7 podjelu kružnice na 21 dio. Sigurno je da možemo i drugačije po uzorcima shema sekcioniranja na brojkama 3, ali tada bi morali kružnicu dijeliti na više dijelova, a onda preciznost 5-ero i 7-ero sekcioniranja bi dolazilo u pitanje. Ako se opet netko upita čemu sve to, onda je dobro znati to da je to jednostavno moguće kao što je i trisekcija. A da je to potrebno, pokazat će neka od budućih poglavlja. Jer, ako je „enigma“ trisekcija onda su sva sekcioniranja „enigme“, te ove čak i nisu navedene nego se šutke prelazi preko toga općenito smatrajući trisekciju i sekcioniranje nemogućim, osim u slučajevima koji se ustvari čine. Ali generalni obrazac „nemogućeg“ shvatljiv je i stvar je navike stare 2500 godina. Ali opet nema nikog od „oficijelnih“ da to kaže. Stoga nacrtat ću kut i sekcionirati ga da im pokažem i izračunat ću veličinu samo sa šestarom i ravnalom bez mjera. Shvatljivo, zar ne? Valja biti slobodouman, nezavisan, i napraviti iskorak i prijeći preko tih institucija a oni koji tamo sjede boje se takvih iskoraka možda iz čisto egzistencijalnih razloga. Stoga je lakše prepustiti „recenziju“ nekom drugom ili jednostavno „zaboraviti“ jer danas ne postoji ni inkvizicija gdje bi znanje iz geometrije završilo na lomači kao u davnoj prošlosti. Iz takvog iskustva možda su i nastale masonske (slobodno-zidarske) lože ili druga ezoterična tajna društva jer jednostavno ne mogu zamisliti jednog masona (slobodnog zidara) koji ne bi znao samo sa šestarom konstruirati peterokut a šestar je simbol masonske zajednice ili su, kako sam načuo, i takve zajednice „čuvari znanja“ prešli na filozofiju koja je čak i Tvorca izbacila iz njegovog svakodnevnog razmišljanja pa se onda pitam čemu onda strah od prestanka života kad ionako poslije ničeg, nigdje niti ikog nema, kako je nedavno ispisao i poznati „vrhunski“ matematičar svjetskog glasa. Razumljiv mi je strah živućih od novog i nepoznatog. Ali čemu strah od mrtvog? Nego vratimo se sekcioniranju.

* * *

Dakle, nasumce zadani kut sa svojim lukom, tetivom, simetralom te istostraničan mu trokut veličina stranica tetive nasumce zadanog kuta.

* * *

Trokutu pravcima simetrala pronađemo središte. Onda istostraničnom trokutu opišemo kružnicu.

* * *

Simetrale stranica veličine tetive trokuta podijelile su mu kružnicu na 6 dijelova pa u ovom skraćenom obliku crtamo diobu posebno te joj možemo odmah ucrtati zvjezdasti poligon (šesterokutni) a pomoću njega i pravce 12-erokutne podjele.

* * *

Sada radijusom po prije u ovom poglavlju obrascu iz svakog od 12 polova opišemo polukružnice (nasumce zadani kut još ne diramo).

* * *

Prva sjecišta izvan. Na kružnici trokuta njihov se radijus dijeli na 5 dijelova (diobu počnemo iz vršnog pola koji je ujedno i kraj tetive nasumce zadanog kuta).

* * *

Istim radijusom iz drugog (drugi kraj tetive) i iz trećeg pola koji je na simetrali – vršni pol isto pol trokuta veličine tetive. Podijelili smo opisnu kružnicu trokuta stranica veličine tetive nasumce zadanog kuta na 15 dijelova iznad luka nasumce zadanog kuta na pet. Iz tih točaka podijele dužine u pravcu vrha nasumce zadanog kuta dijele njegov luk na 5 jednakih dijelova – 5-erosekcija.

* * *

Druga kružnica unutar dijeli osnovnu kružnicu na sedam (njen radijus) kao postupak sa pet, učinimo i sa 7. Dobili smo 2-dio podjele kružnice istostraničnog trokuta a 7 dijelova iznad luka nasumce zadanog kuta.

* * *

Postupak je isti kao kod 5. Iz tih točki a u pravcu vrha nasumce zadanog kuta pravci dijele njegov luk na sedam jednakih dijelova – sedmerosekcija. Dakle to je univerzalan princip (jedan od tri) sekcioniranja. Osim toga nije bitno na koji način podijeliti kružnicu na dijelove (da li zvjezdastim – kojih ima više ili opisnim poligonima). Dakle nakon ovog „izleta“ vraćamo se kocki.

* * * * * *

One Response to “5 i 7 sekcioniranje”

  1. chris napisao:

    wow, thanks, thats just what i was looking for! I figured out a way to make 7 point star using vessica triad, but this adds quite a bit more, very generous and inspiring. Its not easy finding knowledgable sources on this subject.

    Chris

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv