free hit counters

Trisekcija kuta (unutarnja)

TRISEKCIJA KUTA (unutarnja)

Jedno poglavlje o trisekciji kuta (podijeli nasumce zadani kut na tri jednaka dijela) samo sa šestarom i ravnalom bez mjera. Poglavlje koje objedinjuje nizove zakonitosti dosad prikazanih u ovoj drevnoj geometrijskoj „čitanci“ a temelji se, logično, na stupu mjera niza 3 ili trećina kombinacijom pravocrtnog i zaobljenog crtanja te kodnim sistemom (cvijeta života) drevnog artefakta i njegovih elemenata – trećinskih šesterokutnih kružnica i kodnog sistema „davidove zvijezde“ – šesterokutnog zvjezdastog poligona, odnosno njegovog trećeg šesterokutnog poligona čiji opisni kružni luk, cvjetni uzorak podjele osnovne kružnice. On dijeli kružnicu na 18 dijelova pa zato i govorimo o unutarnjoj trisekciji koja se na opisnoj kružnici manifestira isto kao podjela na osamnaest dijelova, dakle osamnaesterokut. Stoga uzimamo jednu trećinu luka kružnice iznad stranice istostraničnog trokuta kao dovoljnu podjelu za veličine nasumce zadanih kutova do 120°. Vrhovi svih tih kutova nalaze se na simetrali stranice istostraničnog trokuta od središta opisne kružnice istog (koje je 120°) i dalje pa sve do 1° kad bi na tome inzistirali. Sve to opisano izgleda zahtjevno, ali ako prihvatimo da se dioba kružnog luka nikad ne događa neposredno nego pomoću diobenih kodova čiji se lukovi uvijek iznad zadanog luka nasumce zadanog kuta. To smo ponovili u osnovama trisekcioniranja (ili sekcioniranja uopće). Onda je jednostavno razumljivo, iako ovaj način zahtijeva izuzetnu preciznost crtanja šesterokuta i njegovog cvjetnog uzorka što danas u fazi provjere ne bi trebalo biti teško jednom preciznom kompjutorskom simulacijom. Takvi simulatori postoje već duži niz godina (Uni Zurich) a zasigurno i drugdje. Nažalost, meni samom neće biti moguće novčano podupirati takve simulacije jer nemam nikakve potpore za to, tako da i ne znam koliko daleko mogu ovako nastaviti, ali to je neka druga priča. No ne znam kuda bi svrstao ovaj prikaz (u poglavlje za djecu ili odrasle?).

* * *

Dakle: kružnica, svojim radijusom podijeljena na šest dijelova – njen cvjetni uzorak i zvjezdasti, pravocrtni, šesterokutni poligon

* * *

Zvjezdasti je poligon „tvorac“ manjeg šesterokuta unutar sebe – te ucrtamo njegov šesterokutni zvjezdasti poligon koji opet tvori svoj manji šesterokut.

* * *

Opišemo ga kružnicom.

* * *

Cvjetni uzorak prve zadane kružnice dijeli kružnicu trećeg šesterokuta (uz središte) na 18 jednakih dijelova u sprezi sa šest njenih polova (12 + 6), a vršni kutovi središta su 20° (18 x 20° = 360°).

* * *

Uzmimo za primjer kut vidno manji od pravog kuta (90°). Njegov luk – tetiva i simetrala koja ga dijeli napola.

* * *

Tetiva zadanog kuta je stranica istostraničnog trokuta a jedan pol (kad ga iscrtamo) je na simetrali, pa trokutu potražimo simetralama središte i opišemo mu kružnicu (luk punog kuta je iznad luka nasumce zadanog kuta).

* * *

Sada imamo uvjete za kodni sistem, pa kružnici istostraničnog trokuta (iz vršnog pola) ucrtamo podjelu na šest dijelova – cvjetni uzorak – i zvjezdasti šesterokutni poligon.

* * *

Šesterokut zvjezdastog poligona i njegov zvjezdasti pravocrtni poligon – dobili smo njegov šesterokutni poligon.

* * *

Opišemo ga kružnicom.

* * *

Cijela „latica“ dijeli tu kružnicu na dijelove (kuta 120° na šest ili na tri jednaka dijela ako uzmemo svako drugo sjecište te ih projiciramo na kružni luk jedne stranice istostraničnog trokuta.

* * *

Iz projiciranih točki a u pravcu sada vrha nasumce zadanog kuta povučemo dužine. One na svom putu prema vrhu nasumce zadanog kuta sijeku luk nasumce zadanog kuta na tri jednaka dijela. Trisekcionirali smo nasumce zadani kut. Veličina kuta i veličine njegovih trisekcijskih dijelova mogu se odrediti samo sa šestarom ako se pomnije prouči 7. poglavlje (novo u geometriji).

* * *

A ovako bi izgledalo objašnjenje. Prikazano drevno geometrijski a opisano u predgovoru ovog poglavlja iu jedan nasumce zadani kut sa svojim lukom (svaki kut ima svoj luk ali ista ishodišta – polovi) kao primjer djelovanja kodnog sistema na njegovu podjelu na tri jednaka dijela principom šestara i ravnala bez mjera.

* * * *

STUPOVI MJERA (Drugi dio)

– NIZOVI BROJA 5 –

PETINE, DESETINE i dalje …

Svugdje u kolijevkama drevnih kultura zapisan je taj sustav mjera. Govore o njemu predaje, od egipatskih do biblijskih pa sve do drevnih južnoameričkih naroda, pa i danas se u mnogočemu zadržao sustav desetina. Geometrijski gledano sustav je kao nacrtani dio vezan za puno nepoznanica jer su njegovi produkti (pored lakog izračuna) povezani sa prva dva stupa mjera (nizovi 2 i 3) i mnogi artefakti u sebi sadržavaju mjere petina i desetina od „piramidalnog“ koda, kovčega s pločama Zapovjedi, duple kocke, pa i trisekcije (u njoj je povezanost broja 5 sa kvadratom 3 to jest 9). Primjer: 3,5 petina radijusa dijeli luk osnovne kružnice na 9 dijelova (odnosno 7 desetina dijametra). Nećemo se dakle baviti produktima stupa mjera broja 5 nego konstrukcijom mjera i ispravnom konstrukcijom kuba 5 da bi dobili petinu u središtu kružnice, opet doduše skraćeno – pritom zanemariti produkte izvan kružnice, bez puno opisa. Važna je ispravna konstrukcija kuba 5 (4 + 1), jer kružnica je podijeljena polovima

  • svaki drugi pol polu-kružnicama, a njihova sjecišta određuju radijus manje kružnice pomoću čije podjele konstruiramo kocku.
  • kub 5 (4 + 1) a ako tim radijusom iscrtamo polu-kružnice a iz svih 6 polova osnovne kružnice, tada nastaju sjecišta tih kružnica i stranica šesterokuta osnovne kružnice pa ih spojimo po principu tako da uz simetrale u središtu kružnice se formira šesterokut jedne petine, a uz polove 1,5 petina tvoreći šesterokut a radijus upisane kružnice dijeli luk osnovne kružnice na 9 dijelova iz jednog pola (iz suprotnog 18, itd).

Dakle konstruirat ćemo samu osnovu – stup mjera broja 5 (najvažnijih) uz pomoć kocke – to jest podjele na kub 5 (dječja geometrija).

* * *

Kružnica sa svojim dijametrima – šesterokutnim poligonom – kocka. Sjecišta trokuta radijusa svakog drugog pola. Zaobljeno crtanje tvori kružnicu manjeg radijusa. Polu-kružnice istog radijusa iz svih šest polova osnovne kružnice sijeku stranice šesterokuta.

* * *

Ta sjecišta spojimo nasuprotno uz dijametre, a zatim uz stranice šesterokuta. U središtu se formirala petina, a uz polove 1,5 desetina.

* * *

Podijelimo kocku na kub 5. Dobili smo na dijametru pet petina (deset desetina).

* * *

Podijelimo li desetine na dva dijela, dobili smo dvadesetine.

* * *

Primijenimo li na šesterokutima petina princip podjele na tri dijela, dobili smo petnaestine a ako njih prepolovimo – tridesetine.

* * *

U tom nizu primjenjujemo podjelu 20 napola, pa su četrdesetine i tako dalje principima stupa brojeva 2 i 3, ali nije naročito potrebno jer su od najveće koristi petine, desetine, dvadesetine. Dakle, to je treći stup mjera – stup broja pet.

* * * *

STUPOVI MJERA (Drugi dio)

SEDMINE I NIZOVI SEDMINA

Niz broja sedam

U ovom nizu također se susrećemo sa konstrukcijom sedmine uz pomoć kuba kocke (kub 7) kombinacijom nizova sa 2 i 3. Tako dobijemo nizove sedam množeći ih sa 2 i 3 (skraćeno – unutar kružnice), nego je u ovome osnovna tvrdnja: radijus upisne kružnice šesterokuta dijeli luk opisne mu kružnice na sedam dijelova. Malo objašnjenje. Provjera, a držeći se opet procedure svete (drevne) geometrije. Nikada nisam tajio mjesto početka ovog svog puta spoznaja (drevno-geometrijskog) u govoru onog na gori Horeb koji je Mojsiju dao Deset zapovjedi – istog u proroštvu proroka Jeremije – u govoru istog, koga mi ljudi zovemo Bog (iako ne znamo što je to). Pamtim i davni susret sa mitološkom knjigom „Mojsije“ E. Fluga u kojoj Mojsije, čekajući na Sinajskoj gori da se ispišu Zapovjedi ide u školu sa „anđelima“ (ni to ne znamo što je) pa je logičan zaključak da je i on učio ovu drevnu geometriju jer kada je sišao nakon 40 dana dao je jasne upute kako napraviti „prebivalište“ – šator sastanka sa svime izrazito jasnih mjera, omjera, razmjera, itd., tako da sam i sam postao neka vrsta „učenika“ za provjeru koristeći drevne mjere (smanjene) – desetine drevnih da bih mogao ovo i iscrtati na ovom A4 formatu i to za unutar kružnog prikazivanja – 3 lakta ljudska 45 cm (desetinu) 4,5 x 3 = dijametar. Za puni drevno-geometrijski prikaz 1 lakat (desetinu) radijusa ljudske mjere po predaji (4,5 cm = r) a kada mi nešto nije jasno ištem pomoć anđeoskog lakta – desetinu (5,25 cm) – radijusa. Može zvučati čudno ali pomaže, jer se negdje u moždanom sklopu otvore vrata spoznaje. Na temelju toga htio bih konačno „eliminirati“ sumnju o sedmerokutu. Inače prije 4 godine isto sam poslao struci da se objavi, ali nikada niti slova od odgovora (tko zna gdje je stiglo) jer izgleda od „namjesnika znanja na zemlji“ nitko ne mari za to. Logično, provjera se vrši i računski a crtanje geometrijski – samo sa šestarom i ravnalom bez mjera. Dakle, primjer: dijametar 13,5 cm (kružnica r = 6,75 cm) 13,5 : 7 = 1,9285714 > opseg = Pi (pi) 3 cijela i 1/7 d > 40,5 + 1,9285714 cm > = 42.428571 = opseg opisne kružnice šesterokuta radijusa 6,75 cm, a upisna: 13,5 – 1,9285714 = 11,571429 (dijametar) : 7 = 1,6530612 (sedmina) opseg = 3 x 11,571429 = 34,714287 + 1,6530612 = 36,367348 : 6 = 6,0612246 (radijus upisne) > opseg opisne podijeljen radijusom upisne > 42,428571 : 6,0612246 = 7 (dakle jasno je) a uz stup broja 7 prikazat ćemo i kvadrat radijusa kružnice, kvadrat opsega kružnice te kvadraturu kruga – pravokutnik uz crtano izjednačenje kvadrata kvadrature kruga dok nas u sljedećem poglavlju čeka niz bitnih primjera iz sva četiri stupa mjera.

* * *

Kružnica podijeljena radijusom – šesterokut sa svojim dijametrima, upisnom svoga radijusa te polu-kružnicama iz svih 6 polova osnovne kružnice.

* * *

Polu-kružnice sijeku stranice šesterokuta. Sjecišta povežemo dužinama – uz dijametre – uz središte – jedna sedmina dijametra na polovima 1,5 četrnaestina.

* * *

Punom podjelom šesterokuta – kocke na kub 7 – formira se na dijametru sedam šesterokuta – sedmine dijametra.

* * *

Te četrnaestine dijametra (prepolovimo ih = 28) dakle prepolovljavanje – pomoću niza 2.

* * *

Koristimo li u kocki kuba 7 zvjezdasti poligon kružnice kao shemu u sedminama (dakle broja 3) imamo 21 dio podjele, te dalje.

* * *

Kvadrat radijusa kružnice ili kvadrat stranice kuba 7 = 7/14 x 7/14 dijelova dijametra (uz pripomoć podjele kružnice na 12 dijelova, a 12 dijelova uz pomoć zvjezdastog poligona kružnice.

* * *

Kvadrat opsega ili Pi (pi) 14 – 3 = 11 četrnaestina x 11 četrnaestina.

* * *

Kvadratura kruga – pravokutnik
11/14 dijametar x 14/14 dijametra (opseg podijeljen sa 4 puta dijametar) i crtkan korijen kvadrature kruga – kvadrat kvadrature kruga .

* * * * * *

One Response to “Trisekcija kuta (unutarnja)”

  1. Manthos Monogios napisao:

    A solution to the geometric trisection of any angle using straight edge and compass may have been found. Please check my blog.

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv