free hit counters

Opisni kvadrat kružnice

Poglavlje za djecu i odrasle

Opisni kvadrat kružnice – opseg i kvadratura
kruga te broj (Pit)

Dugo sam trebao razmišljati kako niz elemenata sročiti u mozaik koji bi svakom bio jasan, pa i srednjoškolcima, a da se ne povrijede zakonitosti drevne svete geometrije a još k tome i skraćeno i to s jednim brojem koji je moguće nacrtati a koji bi bio vezan za broj pi (Pi) a ipak nov u matematičkom pojmovniku. Korišten od drevnih vremena, čudesno jednostavan a naizgled decimalno kompliciran (beskonačan), dok razlomački gledano jest jasan, on je transcedent broja pi (Pi) a u sprezi sa opisnim kvadratom kružnice neophodan za kvadraturu kruga. Kodni broj svake kvadrature kruga uz jasan geometrijski prikaz. Zato sam odlučio i krenuti od elementa – skraćenog prikaza konstrukcije opisnog kvadrata kružnice (njegove konstrukcije – korak po korak), te onda objasniti drugi element (kvadrat pi ili opseg) te najjednostavnije ucrtati kvadraturu kruga, njegov opseg (kruga) kao kvadrat i usput objasniti (nacrtni i računski) što je broj (Pit). Zatim slijedi dokazivanje na niz načina (što će iziskivati još jedno poglavlje) i kao kruna svega, nacrtati kvadrat kvadrature kruge samo sa šestarom i ravnalom bez mjera! Sigurno se iz ovog malog uvoda dade naslutiti što je (geometrijski gledano) kvadratura kruga, ali idemo korak po korak. Pošto sam često pitan otkud znam kako su to „drevni ljudi“ znali, moj odgovor je vrlo jednostavan. Ako čovjek ne zna, znat će onaj koji je preko proroka Jeremije rekao: “Pitaj me i pokazat ću ti stvari za koje si mislio da su nemoguće”, onaj koji je na brdu Horeb dao deset zapovijedi u ime Onog koji je to i potvrdio i zbog toga bio raspet. Pa budući sam rođen kao kršćanin, povjerovao sam pa sam pitao s naglaskom da je to „za dobrobit naraštaja na zemlji“ i onda se otvoriše vrata … Istina je da smo mi ljudi u fazi kada ne možemo povjerovati u ono što ne vidimo (ni ja nisam iznimka) ali na tisuće predaja različitih drevnih naroda nam govore o “bićima koji su u ona drevna vremena posjećivala zemlju”, pa i s gledišta evolucije mi spadamo u najmlađa bića (biljke i životinje su evolucijski starije od nas). Biološki gledano, također. Mnogi napredni umovi, poput Carla Sagana (Bila bi ludost da je sav ogroman svemir samo za čovjeka!) ili Alberta Einsteina (Ovo je mogao stvoriti samo izuzetan um), i mnogi drugi pokušali su shvatiti. Naravno – nedokazivo! Možda je i bolje, jer još nismo dovoljno biološki zreli (odrasli) za jednakopravni pristup prirodnoj zajednici života koja je utemeljena na prirodnim zakonima ravnoteže. No, nije moje da o tome govorim već samo da prenesem geometrijsko znanje koje bi poslužilo kao korak naprijed, i to možda ne ovog našeg nego naših budućih naraštaja.

* * *

Konstrukcija opisnog kvadrata kružnice: radijusom opišemo kružnicu i njen luk (puni kut) – radijusom podijelimo – na 6 dijelova – šesterokut

* * *

S obzirom da je skraćeni oblik, iskoristit ćemo njegov šesterokutni zvjezdasti poligon za diobu na 4 dijela

* * *

Dakle koristimo nasuprotne polove i sjecišta zvjezdastog poligona te podijelimo tako kružnicu na 4 dijela

* * *

… koristeći isti radijus kružnice iz te 4 diobene točke kružnice opišemo polu-kružnice

* * *

Njihova sjecišta povežemo dužinama. Dobili smo opisni kvadrat kružnice. Dužine stranica opisnog kvadrata su 2r ili 1 d

* * * *

Sada ćemo nastaviti „u pratnji“ opisnog kvadrata kružnice jer će se pokazati njegova svrha i svrha njegovih elemenata nastanka (polu-kružnica iz 4 pola kružnice) te uz sedmerokutnu kružnicu prikazat ćemo i opseg kao kvadrat i kvadraturu kruga – jednostavno – kao geometrijsku tvrdnju, a zatim dokazima (nacrtno) potkrijepiti.

Već smo vrlo vjerojatno do sada shvatili da u drevnoj geometriji , osim što se crta samo sa šestarom i ravnalom bez mjera, svaka dužina, bilo ona zakrivljena ili prava, ima svoju svrhu i smisao (geometrijski gledano) a svaki broj ili njegov dio također, kao i da se broj može „iskazati“ geometrijskim jezikom i to uvijek na više načina; ali da je uvijek sve u ravnoteži. „Kako gore tako i dolje“ znali su reći Stari Egipćani iako su to prenijeli ezoterično poput mnogih drugih drevnih naroda – rekli bi – poslije-potopnih naroda.

Dakle, krenimo sa geometrijskim tvrdnjama.

* * *

Dakle, možemo početi sa „teorijskim“ prikazom kvadrata opsega i kvadraturom kruga nacrtno. – Opisnom kvadratu kružnice ucrtamo njegove dijagonale (nasuprotni vrhovi kroz središte kružnice).

* * *

Ucrtamo njegov kružni četverokut (drugi dio zvjezdastog osmerokuta kružnice) – poglavlje za djecu – dioba kružnice.

* * *

Učinili smo to zato da bi mogli ucrtati sedmerokutnu kružnicu po shemi iz prethodnog poglavlja jer je najbliža današnjoj geometriji.

* * *

Sedmerokutnoj kružnici ucrtamo njen opisni kvadrat (kao i šesterokutnoj).

* * *

Polukružnice koje čine konstrukciju opisnog kvadrata kružnice sijeku sedmerokutnu kružnicu. TVRDNJA: Dužine koje prolaze tim sjecištima do dijagonala opisnog kvadrata kružnice (šesterokutne) dužine su opsega kvadrata koji nastaje kada dužinu opsega šesterokutne kružnice podijelimo na četiri dijela: 3 \frac{1}{7} d  : 4 = stranica opsega kvadrata kružnice – dakle ucrtamo dvije (gornju i suprotnu donju).

* * *

… a onda druge dvije.

TVRDNJA: To je kvadrat opsega šesterokutne kružnice (u nastavku o dokazima potvrdit ćemo tvrdnju. Kvadratura toga kvadrata nije kvadratura kruga, nego je manja! To je paradoks koji ćemo razjasniti u posebnom poglavlju o dijelovima geometrijskih likova.

* * *

Produžimo dužine stranica kvadrata opsega do stranica opisnog kvadrata šesterokutne kružnice.

* * *

Dobili smo pravokutnik stranice veličine stranice kvadrata opsega i susjedne joj stranice veličine dijametra šesterokutne kružnice (to jest, stranice opisnog kvadrata kružnice.

* * *

TVRDNJA: Stranica opsega kvadrata opsega kruga puta dijametar kruga = kvadratura kruga = Pravokutnik. Ucrtamo i njegov drugi suprotni pravokutnik da bi izjednačili pravokutnik u kvadrat kvadrature.

* * *

TVRDNJA: Tako smo dobili kvadrat kvadrature kruge = drugi korijen kvadrature kruga = stranica kvadrata kvadrature kruga. Sada možemo krenuti u dokazne radnje.

* * * *

DOKAZNE RADNJE
– OPSEG I KVADRAT OPSEGA KRUGA –

U ovom dokaznom mozaiku raznih načina ipak ćemo se morati poslužiti kombinacijom skraćenih i punih prikaza poradi jasnoće geometrijskih prikaza, iako nerado stoga što je time narušena zakonitost drevne svete geometrije u kojoj se veličine, bez obzira jesu li zakrivljene ili pravocrtne prikazuju u svojoj punini kako bi se osigurala cjelovita slika onoga što se i o čemu govori u skladu sa svime oko sebe jer svaka je slika samo dio cjeline kao što je zrno dio klasa a klas dio njive a njiva… itd. Osim toga, pri punom drevno-geometrijskom prikazu postoje nizovi takozvanih „kontrolnih točaka“ ispravnosti crtanja (primjerice: šesterokut – osim dva pola na istom pravcu sjecišta dobivenih kružnica izvana), dok je skraćeni način crtanja sveden na minimum i podložan netočnostima. Još u drevnim zakonicima zapisan je postulat „Neka se ne osuđuje onaj bez dva svjedoka“.

Kako dokazne radnje moramo početi sa opsegom kružnice, tad moramo znati što je opseg; a rekli smo da je opseg broj pi (Pi) = 3 \frac{1}{7} d, a da bi ga nacrtali u sklopu svoje kružnice moramo se prisjetiti poglavlja za djecu (konstrukcija geometrijskih likova i podjele kružnice na dijelove, kao i kocke 73 odnosno diobe njenog radijusa i dijametra na 7 odnosno 14 dijelova, i sve to ukomponirati u jednu cjelinu čiji je rezultat kvadrat opsega). Upravo zato, poradi ograničenog prostora, pribjegli smo još jednom skraćenju – prepolovljenu veličinu opsega kojeg bi trebalo podijeliti simetralama na 4 dijela. Umjesto toga, uzet ćemo 3 radijusa i \frac{1}{2} sedmine i tu dužinu (pola opsega kružnice) podijeliti simetralom na 2 dijela, a uz pomoć prisutnog opsežnog kvadrata kružnice kojoj tražimo opseg i njegov kvadrat, njegovih dijagonala, moći ćemo nacrtno sve i provesti u djelo samo sa šestarom i ravnalom bez mjera. Prisutna će biti i sedmerokutna kružnica i dioba da bi dobili traženu sedminu ili njenu polovicu. Arhimed je bio na dobrom putu, kao i sa svojim mnogobrojnim drugim idejama, pa je moje mišljenje da bi se fizičari mogli malo dublje zamisliti na Arhimedovim idejama jer da nisu „preletjeli“ preko tog drevnog enciklopedijskog mislioca i njegovih ideja već bi odavno bilo u upotrebi ono od čijeg naziva svi bježe, a to je da dio daje više dijelova a to je upravo stoga jer je prirodna znanost raščlanjena na dijelove, no svaki dio je samo zaseban dio a ne u simbiozi kao u Darwinovoj teoriji koja je objavljena samo u jednom svom dijelu dok drugi dio (o simbiozi) nije nikad objavljen, iz razumljivih razloga onog vremena. Ali to su već druge teme..

Krenimo mi dalje sa geometrijskim prikazom kvadrata opsega kao bitnim elementom jedne druge cjeline.

* * *

Dakle – korak po korak.

Kružnica nekog radijusa podijeljena punim kružnicama istog radijusa – Šesterokut sa svojim stranicama i dijametrima.

* * *

Podjela šesterokutne kružnice na četiri dijela (poglavlje za djecu – podjela kružnice na dijelove).

* * *

Polukružnice iz diobenih točki – istog radijusa kao šesterokutna kružnica.

* * *

Opisni kvadrat kružnice veličine stranica dijametra kružnice.

* * *

Dijagonale opisnog kvadrata kružnice ili dioba kružnice na 8 dijelova (poglavlje za djecu – dioba kružnice na dijelove).

* * *

Kružnica sedmerokuta – podsjetimo se (poglavlje za djecu) – radijus upisne kružnice šesterokuta dijeli opisnu kružnicu šesterokuta na sedam jednakih dijelova.

* * *

Šesterokut upisne kružnice čije stranice projiciramo na šesterokut opisne kružnice (poglavlje za djecu – 7^3 kocke).

* * *

Tako smo dobili \frac{1}{7} dijametra uz središte kružnice da bi dobili uvjet za opseg kružnice = 3 \frac{1}{7} d kao dužinu, a nju onda mogli podijeliti na četiri dijela simetralama 0:4 = kvadrat opsega – a njegova stranica \frac{1}{4} opsega ili \frac{1}{4} od 3 \frac{1}{7} d.

* * *

Da bi prostorno bilo lakše, umjesto 3 d i \frac{1}{7} d, uzeti ćemo 3 radijusa i \frac{1}{2} sedmine dijametra i tu dužinu simetralom podijeliti na 2 dijela. Jednim time dijelom, a kao novim radijusom iz središta šesterokutne kružnice opisat ćemo kružnicu i podijeliti na četiri dijela.

* * *

Nju podijelimo njenim radijusom iz polova na šest (vršnih) dijelova a onda na drugih šest i u druga dva bočna.

* * *

Dakle, imamo dvanaesterokut kružnice radijusa \frac{1}{4} opsega osnovne šesterokutne kružnice. Prizovimo opet poglavlje za djecu – konstrukcija geometrijskih likova, i ucrtamo kvadrat radijusa \frac{1}{4} od opsega šesterokutne (osnovne) kružnice. Taj kvadrat je kvadrat opsega osnovne (šesterokutne) kružnice i nije kvadratura šesterokutne (osnovne) kružnice nego samo kvadrat njenog opsega.

* * *

POGOVOR DIJELA O OPSEGU I KVADRATU OPSEGA

Da smo išli nekim drugim putem teško da bi mogli nacrtati kvadrat opsega iako bi mogli mjerno nacrtati njegovu dužinu. Na način drevne geometrije to možemo i to samo sa ravnalom bez mjera, šestarom i prije nego krenemo na isti način prema kvadraturi kruga – gdje je upravo kvadrat opsega bitan element kao i podjela dijametra kružnice na sedmine, odnosno četrnaestine. Još jednom bi izrazio poštovanje čovjeku koji je prije 2500 godina imao pravo (premda je bilo i drugih koji su također bili u pravu – stari mislioci diljem svijeta u potrazi za brojem pi (Pi) – 99 : 31,5 = pi), samo nažalost Arhimed nije znao značenje (na što se odnosi \frac{22}{7}. Jednostavno nije znao za način koji smo prikazali i koji nismo prikazali a to je: ako dijametar kružnice podijelimo na sedam dijelova i dužinu \frac{1}{7} d nanesemo na pravac 22 puta, tada smo dobili dužinu opsega kružnice ili pi (Pi) – 3 \frac{1}{7} d. To je kod za svaku kružnicu – kojoj je znan radijus (računski i nacrtno) i kojoj nije znan (samo nacrtno). Tako smo se oslobodili mučnih rasprava i „mučnog“ decimalnog računanja koji donosi „približne“ rezultate nego jasan geometrijski prikaz. Jer geometrijski se oblici i veličine crtaju, a broj je samo geometrijski izraz kao i odnos brojeva međusobno. Samo treba shvatiti da je decimala dio cijelog. A to je 1: decimali kao što je desetinka, stotinka, tisućinka itd. dio cijeloga, ali to djeca u školi uče kao razlomak. I još bih jednom upozorio fizičare da se malo vrate na Arhimeda, pa i enciklopediste da malo prošire znanje o njemu i njegovim idejama kako bi djeca više znala (nego je skoro „izguran“ iz udžbenika fizike) i dobila pravi istraživački poriv sa mogućim rezultatom. Osim toga netko je pripisao Arhimedu nešto u što sumnjam da mu pripada jer je puno starijeg datuma a sprovodi se kao dobar projekt za zemlju – osim načina na koji se sprovodi pa ću se uz ovu geometriju potruditi uskoro da vam taj projekt predočim (njegovu nerazumnost ili razumnost u provođenju) pa prosudite. A sada se okrenimo onome od čega bježi svaki „uvaženi“ matematičar ovoga svijeta – kvadraturi kruga. Mi ćemo je jednostavno nacrtati – njen kod za bilo koju kružnicu znanog ili neznanog radijusa samo sa šestarom i ravnalom bez mjera.

* * * *

KONSTRUKCIJA KVADRATURE KRUGA I BROJ (Pit)

Dakle, ponovimo: Opseg ili pi = 3 \frac{1}{7} dijametra, dužina koju smo podijelili na 4 dijela (skratili smo je radi crtanja pa smo uzeli – 3 radijusa i \frac{1}{2} sedmine i podijelili na dva dijela. Tim smo radijusom opisali kružnicu i podijelili je njenim radijusom na šest dijelova. (Dječja geometrija – konstrukcija kvadrata), a da ne bi kružnicu još jednom prepolovili (12-erokut) iskoristili smo dijagonale opisanong kvadrata osnovne kružnice i tako smo konstruirali kvadrat opsega kružnice, naime 0:4. Bio bi isti rezultat kad bi to izrazili računski 0 = 2rpi ili (pi/4 x d)^2. Sve to stoji računski ali treba izraziti geometrijski.
Dužina opsega, \frac{1}{4} dužine opsega = stranica kvadrata opsega. Gledajući opet crtež uočiti ćemo da smo od dijametra (\frac{14}{14} ili \frac{7}{7}) „ukrali“ 2 x 1,5 četrnaestina ili d : 14 x 11 = stranica kvadrata opsega ili d : 7 x 5,5 = stranica ista ili pi : 4 x d = stranica kvadrata opsega. I tako računski nizovi potkrepljuju ispravnost sebe samih. A geometrijski? Upravo je stranica kvadrata opsega bitan element za prikaz kvadrature kruga. A jedan broj koji „geometrijski govori“ ujedno izuzetno pojednostavljuje čitav postupak i geometrijskog i računskog dijela. Naime, broj (Pit). Što je taj broj? Naime, broj pi (Pi) ima svoj transcendentalni broj. Kada se broj 4 podijeli sa 3,1428571 sa Pi tada se dobije broj 1,2727272. Sada će možda netko reći „Opet još jedan beskonačni broj!“ Broj Pit () je transcendent – odnos brojeva je 14:11 ili 7:5,5 ili veći brojevi u nizu istih odnosa. Kako to geometrijski ako imamo kvadrat opsežne kružnice (4-četvorina) kvadrature d x d = d^2 te d^2 podijelimo sa 1,2727272 – dobijemo kvadraturu kruga. A čita se ovako: d^2 : sa 14 x 11 = kvadratura kruga ili d^2  : sa 7 x 5,5 = kvadratura kruga. Dakle, imamo opsežni kvadrat kružnice – imamo 14 ili 7 sedmina – dijametar – stranica, imamo 11 sedmina stranice kvadrata opsega. Računski d^2 : Pit ( – 14:11) = kvadratura kruga. A geometrijski računski pokazuje da \frac{14}{14} i \frac{11}{14} su geometrijske stranice pravokutnika. Umnožak im je računski kvadratura kruga. Kvadratura kruga je pravokutnik umjesto (dječja geometrija – geometrijski likovi) kojeg ćemo za pomoć uzeti dijagonale opisnog kvadrata kružnice.

* * *

Došli smo do kvadrata opsega – njegova stranica je \frac{1}{14} d.

* * *

Sada kada smo iscrtali kvadrat opsega (\frac{11}{14} d), samo produžimo njegove dvije nasuprotne stranice do stranica opisnog kvadrata kružnice (\frac{14}{14} d) i imamo pravokutnik – kvadraturu kruga (\frac{11}{14} d x \frac{14}{14} d) – jedanaest četrnaestina x četrnaest četrnaestina dijametre = kvadratura kruga (pravokutnik)

* * *

A da bi izjednačili stranice – dobili kvadrat pravokutnika – ucrtamo i njegov drugi pravokutnik – da bi dobili kvadrat kvadrature kruga – \sqrt{\frac{11}{14}d * \frac{14}{14}d}  = stranica kvadrata kvadrature kruga

* * *

Ova shema je za bilo koju (poznatu ili nepoznatu) veličinu kružnice samo sa šestarom i ravnalom bez mjera. Doduše to je skraćeni prikaz (sveto)geometrijskih pravila ali dovoljno jasan i jednostavan.

* * * *

POGOVOR

Dakle, koji su bili problemi za iscrtavanje kvadrature kruga? Prvo: u podjeli dijametra na dijelove. Drugo: u percepciji decimalnog broja, ne tretirajući ga kao dio cijelog ili razlomak, pa se nije moglo predočiti što je pi (Pi) iako je davao rezultate kao decimalni broj, bio je podložan kojekakvim filozofijama i skraćenjima (najgore od svega je kada matematičar postane filozof-teoretičar). Treće: nepravilno crtanje geometrijskih likova. Četvrto: nije se moglo predočiti u kakvom su odnosu opseg kružnice kao kvadrat i kvadratura kruga, te što je kvadratura kruga (pravokutnik) a tek izjednačavanjem se dobije (korijenom – izjednačavanjem) stranica kvadrata kvadrature – dakle – posredno, tek kada smo ustanovili da je Pi (pi) dužina opsega zadane kružnice, to jest 3\frac{1}{7} dijametra njenom podjelom na 4 dijela pa smo dobili njenu četvorinu (kvadrat). A kakav je odnos kvadrature kvadrata opsega i kvadrature kružnice? On glasi: kvadratura kruga : 14 x 11 = kvadratura opsega. A korijen te kvadrature je logično veličina njegove stranice ili \frac{1}{4} opsega kružnice (0/4), dakle 0/4 x d = kvadratura kruga. Sada stalno zaobilazimo pi (Pi) njegovim transcendentnim Pit (). Zašto? I računski i geometrijski je jednostavniji. Stoga, kvadraturu opsežnog kvadrata kružnice podijelimo s 14 ili 7, pomnožimo sa 11 ili 5,5 i imamo kvadraturu kruga a korijen kvadrature je stranice kvadrata kvadrature kruga. Ako podijelimo kvadraturu kruga sa 14 ili 7 i pomnožimo sa 11 ili 5,5 dobili smo kvadraturu opsega kružnice (isto pravokutnik) a korijen kvadrature je izjednačavanje, to jest stranica opsega kružnice – njenog kvadrata ili \frac{1}{4} njenog opsega. Osnova, ili jedna od njih, upravo je podjela na dijelove. Naime, dijelovi odnosa osnovnih brojeva imaju (računski) prepoznatljive dijelove. Tako i broj sedam. 1:7 – 0,1428571 x 2 = 0,2857142 x 3 = 0,4285713 itd (zadnja sedma znamenka uvijek pokazuje koliko puta (koliko dijelova) je osnovna podjela (dio). Postoji i druga, paralelna „slika“ kvadrature kruga gdje je i drugi odnos drugih brojeva – malo složenija a korištena u drevnom Egiptu (kao i druge drugdje) ali najjednostavniju smo tražili pa smo je čak i drevno-geometrijski pojednostavili jer je najbliža i najjasnija našem sadašnjem poimanju geometrije. A kako je princip prirode svuda jednak, dakle sve nam je tu, na dlanu – u svakom segmentu prirodne znanosti, samo trebamo „promatrati i pitati“ jer ponoviti ću, „najveći grijeh“ svakog prirodoslovca je kada postane filozof-teoretičar i kad se u svom traženju „otisne“ predaleko pa čak i u svemir, jer kao što kaže stara poslovica (kazati ću je u blažem, čovjekoljubivijem obliku): „Nerazumnom su oči daleko:“ (Sebi to ipak mogu dopustiti – jer sam pjesnik!)

One Response to “Opisni kvadrat kružnice”

  1. Rod napisao:

    Re: http://aitnaru.org/images/Geometry_of_the_Cross.pdf

    This “geometry of the cross” hints that squared circles do exist in the universe … even if they cannot be drawn according to the ancient Greek rules.

    Does this suggest? A circle can be squared, but only by way of the cross (the geometric cross). 😉

    Rod

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv