free hit counters

Osnovna „A“ trisekcija kuta

PRVA OSNOVNA TRISEKCIJA KUTA
SHEMA „A“

(ZA KUTEVE DO 90° SA PRIMJEROM NASUMCE ZADANOG KUTA)

Osnovna „A“ trisekcija kuta sa primjerom

U ovom ćemo poglavlju prikazati čisto geometrijski, a držeći se pravila (samo šestarom i ravnalom bez mjera), osnovnu trisekciju jednog šesterokutnog segmenta stavljajući je pod oznaku „A“. Razlog je vrlo jednostavan. Shvatiti sistem sekcioniranja i njen produkt, ne samo dobiti tri jednaka istokračna trokuta koji se preklapaju, već i nekoliko produkata trisekcije a da bi dobili jasnoću trisekcije zbog prvog susreta s njom, neke druge produkte jednostavno ćemo „geometrijski“ prešutjeti. Naime, ponovimo: jedna od osnovnih zakonitosti drevne, svete ili prirodne geometrije je: sve podjele kružnicama bilo kojih radijusa crtaju se punim kružnicama (punim kutevima) bez obzira koliko ih ima u nekoj diobi, bez označavanja – bilo slovima ili brojevima. Zašto?

Ne crtajući tako, izostavili smo niz podataka. Drugo: ako promotrimo samo šemu „A“ ovog poglavlja, da li bi itko mogao početnički shvatiti, a posebice ako bi shemi dodali k tome oznake brojevima ili slovima, što se u današnjoj „nepotpunoj“ geometriji čini.

Osim toga, pored znanja u drevnoj je geometriji potrebna izuzetna preciznost jer svaka lučna minuta nepreciznosti vodi k nepreciznom rezultatu. Izabrali smo kao početnu „A“ shemu trisekcije iz još jednog razloga: osim trisekcije, otkloniti usput još jednu geometrijsku neispravnost koja je prisutna u današnjem geometrijskom učenju čiji korijeni sežu do Arhimeda.

O tome u nekom sljedećem poglavlju.

Ponovimo: vrlo je bitno upamtiti „A“ shemu trisekcije i primjer triskecije nasumce zadanog kuta po njoj.

* * *

Kao osnova svakog geometrijskog početka u drevnoj geometriji je šesterokut, odnosno podjela centralne kružnice njegovim radijusom na šest jednakih dijelova. Taj cvjetoliki uzorak uvijek je osnova svake drevne geometrijske konstrukcije, bilo kuta, bilo geometrijskog lika ili geometrijskih tijela, njihovih podjela, njihovih produkata. Dobro valja upamtiti: osnovu – početak.

* * *

Poznato je da je jedan dio šesterokuta jednakostranični trokut, a njegova tetiva je jednaka radijusu osnovne kružnice. Ali cilj trisekcijskog postupka nije podjela njegove tetive, nego luka. Zato je potrebno koncentrirati se na tetivu 1/6 šesterokuta, dok mu stranice samo služe kao omeđenja kuta 60°. 360°÷6 = 60°

* * *

Kako smo ispravno crtali šesterokut (osnovna kružnica sa njenih šest diobenih kružnica) možemo odmah tetivu jednog dijela podijeliti na dva jednaka dijela (sjecište – središte centralne kružnice – sjecište dviju diobenih). Znači: kada bi sjecišta diobenih kružnica spojili sa središtem osnovne, dobili bi njenu podjelu na 12 jednakih dijelova, odnosno dvanaesterokut! Ali, koncentrirajmo se i dalje samo na jednu šestinu.

* * *

Cilj nam je dakle, podijeliti jednu šestinu 1/6 šesterokuta na 3 jednaka dijela. Sada sjecište tetive i simetrale postaje središte jedne nove, manje kružnice čiji je radijus ½ tetive jednog šesterokutnog segmenta (zbog jasnoće crteža crtamo ga drugom bojom iako se u drevnoj geometriji nije označavalo ni slovom niti brojem).

* * *

Ta nova kružnica podijeljena na šest dijelova, doduše, ne dijeli luk osnovne kružnice, to jest njenog šesterokutnog segmenta na tri dijela premda je vrlo bitna za podjelu luka šesterokutnog segmenta. Zato kažemo da je to prva faza trisekcijske diobe. Tu kružnicu nećemo ispravno geometrijski crtati sa njenim diobenim kružnicama zbog lakšeg pregleda jer tražimo samo podjelu luka jednog segmenta osnovnog šesterokuta.

* * *

Simetrala opet dijeli tu malu kružnicu na dva dijela, a to znači: ukoliko vrhove tetive osnovnog šesterokutnog segmenta spojimo sa simetralnim sjecištem male kružnice dobit ćemo pravi kut (90°).

* * *

Luk kuta 90° – pravi kut, iako je na istoj simetrali i ima zajedničke vrhove sa vrhovima tetive šesterokutnog segmenta osnovne kružnice i polovima svoje male kružnice, veći je nego luk segmenta osnovno-kružničkog šesterokutnog segmenta.

* * *

Njegov luk, šesterokutna podjela njegove male kružnice, dijeli na tri jednaka dijela, ali ne i luk šesterokutnog segmenta osnovne kružnice, a opet bitna je za podjelu luka šesterokutnog segmenta – što nam je i cilj. (Da bi se faze razlikovale, crtamo drugom bojom). Znači, to je druga faza podjele šesterokutnog segmenta osnovne kružnice na tri jednaka dijela.

* * *

Kako vidimo, druga faza znači podjelu luka 90° male kružnice na tri jednaka dijela. Da smo sada spojili sjecišta luka 60° – 90° sa središtem osnovne kružnice, trisekcija bi bila neispravna iako je simetrala za sve ista i polovi za sve isti (polovi šesterokutnog segmenta šesterokutne osnovne kružnice) lukovi su im različitih veličina. Tek iz diobenih polova luka 90° male kružnice (druge faze podjele) ka središtu osnovne kružnice na luku 1/6 segmenta, znači na njegovu luku „rađaju se“trisekcijske točke. To je onda trisekcija kuta 60° trisekcija jednog segmenta šesterokuta osnovne kružnice.

* * *

Tako smo dobili ispravnu trisekciju kuta 60°, tri jednakokračna trokuta koji su jednaki, odnosno 60°/3 = 20°. Taj način ili shema koristi se za sve kutove do 120°. Kako? Najprije ćemo pokazati primjer diobe zadanog (nasumce) kuta do 90°.

* * * * * *

Primjer trisekcije nasumce zadanog kuta do 90°
po „A“ shemi trisekcije

Nacrtamo nasumce zadani kut, nasumce odredimo njegov luk, ucrtamo tetivu njegovog luka i nju simetralom podijelimo na dva jednaka dijela.

* * *

Središte tetive nasumce zadanog kuta je središte kružnice segmenta a krajevi tetive preuzimaju ulogu polova (nasuprotnih) te manje kružnice.

* * *

Kako smo odredili polove tetive kružnice, podijelimo je (skraćeno, a to znači bez šest diobenih kružnica) na 6 dijelova, to jest radijusom ½ tetive nasumce zadanog kuta i njegovog kutnog luka.

* * *

Na taj način dobili smo prvu fazu trisekcioniranja po „A“ shemi sekcioniranja kuta do 90°.

* * *

Simetrala zadanog luka također dijeli tetivnu kružnicu na dva dijela. Spojimo li polovište kružnice sa krajevima tetive zadanog kuta, koji su istodobno i suprotni polovi kružnice ½ tetive zadanog kuta, dobivamo kut 90° – pravi kut, čiji krakovi prolaze kroz krajeve tetive.

* * *

Taj kut – 90° – pravi kut, ima svoj luk koji se razlikuje i od luka zadanog kuta – (veći je) i od luka tetivne kružnice (manji je) ali ima zajedničke polove, odnosno vrhove tetive nasumce zadanog kuta.

* * *

Polupravci iz tetivne kružnice, iz njenih nasuprotnih šesterokutnih polova ka vrhu kuta 90° dijele luk pravog kuta na tri jednaka dijela.

* * *

Tako smo završili drugu pripremnu fazu po shemi „A“ trisekcije. Kao što ćemo vidjeti, ona je „bît“ – jedan od osnovnih obrazaca po kojima se vrši trisekcioniranje.

* * *

Tek tada, i samo tada, iz točaka trodijelne podjele kuta 90°, tetive, njene kružnice ½ tetive, polupravci se protežu ka vrhu zadanog kuta i dijele luk kuta na tri jednaka dijela. Još preciznije, iz točaka podjela luka kuta 90° ka vrhu nasumce zadanog kuta.

* * *

Tako smo dobili trisekciju ili podjelu na tri jednaka dijela njegovog luka, a ako imamo podjelu na tri jednaka dijela luka bilo kojeg kuta, onda je jasno da imamo tri jednakokračna trokuta (osim šesterokuta). To je čista trisekcija kuta ravnalom bez mjera i šestarom, jednostavna, mada jedna od zahtjevniji (ima jednostavnijih)! Zašto je ona za početak uzeta kao primjer, objasnit ćemo u jednom od sljedećih poglavlja.

* * * * * *

2 komentara to “Osnovna „A“ trisekcija kuta”

  1. Arjen Dijksman napisao:

    These are impressive circle drawings. To be honest, I got lost somewhere at picture 209. How do you get the three isosceles triangles of picture 210? To get some understanding of your method, it would be helpful to highlight how Archimedes’ trisection emerges in your drawings.

  2. Branka napisao:

    Poštovani gosp. Tomo,

    Svaka Vam čast na znanju, trudu i upornosti! Ima nas možda malo koji sa velikim zanimanjem čitaju i proučavaju ova znanja ali nas ima. Možda je Vašim bližnjima teško razumjeti Vaša nastojanja kao što je i našima teško shvatit što mi u tome vidimo. Mi vidimo važne i velike istine od kojih je sazdan svijet i univerzum. Vaš rad vidim kao očuvanje velikih blaga, nadu da će se čovjek vratiti na put istine i ljepote. Beskrajno Vam hvala! Svako dobro Vam želim!

    B.

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv