free hit counters

Izračunavanje veličine nasumce zadanog kuta

IZRAČUNAVANJE VELIČINE NASUMCE ZADANOG KUTA

JEDINI SLUČAJ – ŠESTEROKUT

Jedini slučaj – trokuti šesterokuta su jednakostranični .
Tetive svakog šesterokutnog segmenta su jednake stranicama kuta – radijus punog kuta.

360° ÷ 6 x 1 = 60°
ili 360° x 1 ÷ 6 = 60°

svaka druga tetiva dijeli svoju kružnicu (luk punog kuta) drugačije, po principu šesterokutne formule.

U ovom poglavlju, a prije nego krenemo s konstrukcijom deveterokuta i njemu srodnih kutova, razjasnit ćemo jedno „svjetlo“ koje rasvjetljava niz nepoznanica geometrijskog pisanja povijesti civilizacije. Da li se znalo ili nije nećemo raspravljati, nego ćemo se samo držati geometrijske realnosti. To „svjetlo“ bit će nam uvijek pred očima pri bilo kojoj konstrukciji, bilo kojeg i bilo kakvog kuta. Štoviše, dati će nam mogućnost ne samo konstrukcije istih nego do sada nevjerojatnu mogućnost da na tako jednostavan način (samo sa šestarom, osnovnom spravom u geometriji) izračunamo veličinu bilo kojeg kuta, naravno, nepoznatog. Danas je to „svjetlo“ zamijenila jedna druga sprava – kutomjer, što se čini lakše i praktičnije. Ali zna se da se bez osnovnih i jednostavnih spoznaja ne može doći do suštine ni jedne prirodne znanosti; bilo bi to kao da pučkoškolsko dijete prebacujemo na sveučilište. Čovjeku je u naravi da ide korak po korak.

Dakle, alatom geometrije služimo se tako da jedan njegov vrh zabodemo u točku u prostoru. Ta točka je središte – početak. Drugi kraj šestara svojim kruženjem oko središta ograničava prostor svojim kružnim lukom. To ograničavanje prostora šestarom započetom jednom točkom koju zovemo početnom točkom kružnog luka završava s istom točkom tog istog. Tako smo šestarom ograničili prostor. Složili smo se da kružni luk ima 360° i rekli smo da je to puni krug. Svaka kružnica počinje početnom točkom i završava njome kao posljednjom. Tu činjenicu ne smijemo smetnuti s uma iako se čini banalnom kao da „svako dijete zna“ pa je lako moguće da kod nas odraslih izazove podsmijeh. Ponovimo još jednom: znamo i od davnine je dokazano da raspon u šestaru kojeg zabodemo u kružni luk krećući se od točke do točke njegova raspona, dijeli kružni luk (puni kut) na šest jednakih dijelova, to jest, svojim kretanjem iz početne točke na kružnom luku završava u istoj praveći tako podijeljen puni kružni luk na šest dijelova, odnosno 360° ÷ 6. Taj raspon smo nazvali polumjer ili radijus. Radijus dijeli svoju kružnicu na šest jednakih dijelova. Tako je puni kut podijeljen na šest jednakih dijelova. Koliki je jedan dio? Naravno, rekli smo: 360° ÷ 6 = 60°. To je element koji je kamen temeljac izračunavanja kuta. Nije 360° ÷ 6 = 60° nego, ako hoćemo dobiti ispravan rezultat, ne smijemo odbaciti nijedan element ma koliko se činio banalan. Takvo bi nam odbacivanje omelo u razumijevanju i upravo bi nam to odbacivanje mogli nazvati površnost ili svojeglavost, a to bi nas dovelo do niza „nemogućnosti“ u jednoj prirodnoj znanosti koja to ne trpi. Stoga nije 360° ÷ 6 = 60° nego je veličina jednog od šest dijelova podjele punog kuta radijusom kružnog luka, već će biti ispravno kako slijedi: 360° ÷ 6 x 1 = 60°. Zašto je bitno taj „puta jedan“?

Najprije ustanovimo što smo naučili.

  1. raspon uzet u šestar, to jest radijus koji opisuje dio ravnine, ograničava je kružnim lukom tvoreći tako puni kut.
  2. Isti raspon dijeli kružni luk na šest jednakih dijelova, dakle, dijeli puni kut na šest jednakih kutnih dijelova.
  3. Veličinu jednog dijela punog kuta dobijemo tako da puni kut podijelimo sa šest i pomnožimo sa jedan.

To je jedini slučaj kada se to zbiva na takav način. A upravo su ti jedinstveni slučajevi u geometriji sheme, kodovi, principi ili kakogod hoćete da ih nazovete po čijim se poznatim zakonitostima (uzorcima) rješavaju svi drugi slučajevi nepoznanice. Zašto je to jedini slučaj? Svaki dio podjele kružnog luka ima još jednu dimenziju, to jest, svaki luk ima svoju tetivu. Kod ovakvog slučaja tetiva jednog dijela jednaka je radijusu punog kuta. Ni u jednom drugom slučaju to više nije. Prema tome dobili smo, ako središte spojimo dužinama sa diobenim točkama isto dužinama koje su, kao što smo rekli, jednake radijusu. Dakle dobili smo šest jednakostraničnih trokuta pa se može reći – šesterokut. A što se zbiva ako tetiva nije ista kao radijus? Kakva je onda veličina kuta? Veća ili manja ukoliko je tetiva veća ili manja? Dakle dobit ćemo istokračne trokute (tetiva kao osnovica, a radijus kao krakovi). Kako ćemo saznati koje je veličine vršni kut? Na što nas upućuje taj „jedini slučaj“: dakle 360 podijeljeno radijusom kružnice tetivom zadanog kuta pomnoženo sa brojem podjela nastalih na luku zadanog kuta.

Dakle, na taj način možemo izračunati veličinu bilo kojeg nasumce zadanog kuta. Kod jednokračnih trokuta sva tri kuta, a kod raznostraničnih istim obrascem barem dva kuta dok kod nepravilnih poligona postoje mnoge mogućnosti – i to samo sa šestarom. Obrazac koji smo naučili pokazati će se kao osnovni element pri rješavanju nepoznanica koje su nam od davnine ostale neriješene (sedmerokut i deveterokut, kvadratura kruga, podupljavanja, odnos kvadrature geometrijskih likova, itd.), nepoznanice koje su još obilježene kao „nemoguće“ u prirodnoj znanosti, matematici, geometriji… Međutim, ponavljam, nema nepoznanica ni nemogućnosti u geometriji. Ali bilo kojeg današnjeg matematičara da upitate da li je moguće izračunati veličinu nasumce zadanog kuta samo šestarom, prvi bi odgovor bio „nemoguće“. Doduše, imamo samo jedan podatak: puni kut 360°. Ali se u prvi mah taj podatak smetne s uma. Drugi podatak je tetiva luka kuta. Ona se uzima u šestar kao diobeno „oruđe“, dakle brojčana poznata vrijednost je samo puni kut od 360°.

Sada dolazi do izražaja ono podsmješljivo:
– svaka kružnica počinje sa jednom točkom i završava u njoj.-
znači: svaka dioba kružnice luka bilo kojeg nasumce zadanog kuta počinje u jednoj točki, vrhu tetive luka i završava u njoj. Kada podjelu tetivom završimo, jednostavno podijelimo 360° s ukupnim brojem podjela i pomnožimo s brojem podjela u samom segmentu (luku) nasumce zadanog kuta i tako smo dobili njegovu veličinu. Logično, jednostavno i jasno.

Osim ovog u današnjoj geometriji napravljeno je niz drugih propusta (kao i u čitavoj nauci o brojevima) tako da nije čudno da je nastao niz nelogičnosti. Stoga je zadatak otkloniti ih čisto geometrijskim načinom, to jest:

  • samo sa šestarom – zaobljenim, kružnim crtanjem
  • pravolinijski – ravnalom bez mjera i kružno (šestarom)

Zato ćemo nizom geometrijskih primjera „razbistriti“ ono što je „zamagljeno“ dio po dio. Ipak, da bi počeci našeg razumijevanja bili jasniji, ići ćemo korak po korak i dopustit ćemo sebi skraćivanje – nepotpuno crtanje, barem u početku ovog ogromnog opusa.

* * *

PRIMJER „A“

KUT MANJI OD 60°


Zadan je, nasumce, kut nepoznate veličine. Luk kuta ucrtamo, proizvoljnog radijusa, njegovom punom kružnicom. 

* * *

Ucrtamo njegovu tetivu i provjerimo iz vrha kuta (središta) kakvog je radijusa njegova tetiva . Vidimo da je nešto manjeg radijusa nego radijus luka. Dužinu A-ZB uzmemo u šestar i primijenimo obrazac. Svaka dioba kružnice počinje njenom početnom točkom (A-Z) i završava u njoj.

* * *

360° ÷ 31 = 11,612903 x 5 = 58,064515°

Iz točke A-Z radijusom (veličinom) dijelimo tako dugo dok se ne vratimo u točku A-Z. U ovom slučaju imamo ukupno 31 podjelu (31 istokračni trokut iste veličine). Vršni kut svakog ovog trokuta je 360° ÷ 31. Taj rezultat pomnožimo sa 5 (jer u samom zadanom kutu ima 5 takvih jednokračnih trokuta), sada poznate veličine vršnih kutova i tako smo dobili veličinu nasumce zadanog kuta (možemo provjeriti kutomjerom).

* * * *

PRIMJER B – KUTOVI VEĆI OD 60°

Ucrtamo nasumce kut sa lukom proizvoljnog radijusa, te njegovom tetivom (A-ZB) A-Z je početna i završna točka diobe tetivom.

* * *

Ovdje vidimo da je radijus tetive veći od radijusa luka (kružnice) nasumce zadanog kuta. U šestar smo uzeli veličinu tetive i počinjemo diobu na kružnici nasumce zadanog kuta iz točke AZ gdje ćemo i diobu završiti.

* * *

360° ÷ 14 = 25,714285 x 3 = 77,142855°

U ovom je slučaju dužina tetive podijelila luk (kružnicu) zadanog kuta na 14 dijelova. Podjelom smo dobili jednakokračne trokute čiji je vršni kut 360° ÷ 14, a kako zadani kut ima u sebi takva tri pomnožimo sa tri te smo dobili veličinu nasumce zadanog kuta.
Da ponovimo: ovakvim načinom može se, čisto geometrijski, izračunati bilo kojeg zadanog kuta – kao što smo vidjeli u ovim slučajevima samo smo crtali potpuno skraćenim obrascem kao u današnjoj geometriji da bi početak bio jasniji.
Inače u svetoj drevnoj prirodnoj geometriji diobe se prikazuju punim kružnicama iz niza razloga (kontrole ispravnosti podjele, produkata diobe, itd., te ljepote ravnoteže, sklada svake diobe, a samim time eliminacije „ezoteričnih“ primisli.
Osim što je po prvi puta u našoj pismenoj civilizaciji ova novina prikazana, poslužit će nam u daljnjim poglavljima (sljedeće poglavlje je o 9-erokutu i 18-erokutu) – ( primjerima trisekcioniranja istih) te u drugom „enigmama“.
Zato je dobro zapamtiti:

  • svaka kružnica počinje početnom točkom i završava u njoj
  • svaka dioba počinje početnom točkom i završava u njoj bez obzira koliko puta to bilo.

* * *

360° ÷ 39 = 9,2307692° x 3 = 46, 153846°

Ispravno crtanje u svetoj geometriji nasumce zadanog kuta punim kružnicama diobe, radijusom veličine tetive istog po njegovu luku (kružnici). Svrha je uvijek višestruka provjera ispravnosti diobe te dobivanje niza drugih podataka o kojima ćemo jednom više reći.

* * *

360° ÷ 40 = 9° x 11 = 99°

Kao i kod nasumce zadanog kuta, manjeg kao i većeg od 60°, postupak je isti. Stopostotna preciznost postići će se onda kada se učine kompjutorski simulacijski programi za izračunavanje bilo kojeg nasumce zadanog kuta diobom njegovom tetivom proizvoljno određenog luka njegove kružnice. Možda jednom!

* * * * * *

2 Responses to “Izračunavanje veličine nasumce zadanog kuta”

  1. ivo kaže:

    Primjmjer B nije toćna formula nije puta 5 nego puta 3

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv