free hit counters

36-erokut

36-EROKUT

Simetralni šesterokutni zvjezdasti poligon

Primjer trisekcije kuta
po uzorku 36-erokuta

Zašto je odabrana upravo u ovom poglavlju konstrukcija 36-erokuta, te za primjer uzeta svaka četvrta diobena točka kao „oruđe“, nije samo zato što su vršni kutovi 36-erokuta 10° (360°÷36 = 10°), nego i zato što je bitan element u nekim drugim „nepoznanicama“ ili „nemogućnostima“ konstrukcije samo sa šestarom i ravnalom bez mjera poput:

  • dijametralne podjele i kvadrature,
  • podvostručavanje kocke
  • Pi drevnih naroda
  • piramidalne konstrukcije itd.

Neosporno je da je konstrukcija u smislu preciznosti zahtjevna (što je podjela brojnija potrebna je veća preciznost) ali konstrukcije do 99 su relativno lake. Osim toga, 36-erokut se bazira na 6 jednakostraničnih trokuta osnovne kružnice radijusa. Netko će pomisliti da sliči artefaktu Davidova zvijezda, ali to je samo naizgled. U ovom slučaju to su samo dvije od tri simetrale trokuta šesterokutnog poligona, a njihova sjecišta središta tih istih jednakostranićnih trokuta, dovoljna da se (na skraćeni način) iz tih središta opiše svakom središtu njegova opisana kružnica. A da bi se to zorno prikazalo pribjeći ćemo što većem skraćivanju bez obzira na gubitak niza podataka upravo da bismo se što više približili današnjoj geometriji uz dodatak svega onog što smo utvrdili u prijašnjim poglavljima.
Ponovimo:

  • svaka osnovna kružnica odraz je svih zbivanja unutar i izvan nje (sjecišta izvana i iznutra su drugi radijusi koji čine druge i drugačije podjele na osnovnoj);
  • svaka dioba na osnovnoj kružnici počinje početnom točkom i možemo reći da završava u istoj;
  • za trisekciju možemo utvrditi sljedeće: nikada nije direktna, neposredna, već iziskuje „uzorak, shemu, oruđe“ da se izvrši, no ipak ćemo naglasiti da 36-erokut na ovaj način nije jedini način konstrukcije, a to ćemo vidjeti iz artefakata pentagrama ili jin i janga u nekim kasnijim poglavljima. Naposljetku važno je naglasiti da u drevnoj svetoj geometriji sve se ovo radi samo sa šestarom ili sa šestarom i ravnalom bez mjera.

* * *

Dakle: Nacrtamo kao i obično kružnicu i njenim je radijusom podijelimo na šest dijelova. Ovaj put skraćenim postupkom samo sa unutarnjim dijelovima diobenih kružnica.

* * *

Svakom segmentu nastale šesterokutne podjele ucrtamo njegovu tetivu.

* * *

A zatim ograničimo polja dužinama nasuprotnih polova kroz središte. Tako smo dobili šest jednakostraničnih trokuta. Potražimo svakom središte.

* * *

Ako šesterokutu ucrtamo trokut relacije prvi pol – treći pol – 5 peti pol – prvi pol, dobili smo jednu simetralu svakog trokuta šesterokuta.

* * *

A ako onda ucrtamo drugi suprotni trokut relacije 4. pol – 6. pol – 2. pol – 4. pol, dobili smo dvije simetrale svakog od šest jednakostraničnih trokuta šesterokuta. Dakle, već smo dobili 6 središta 6 trokuta šesterokuta.

* * *

Ipak, povucimo i treću simetralu iako nije potrebna.

* * *

Povezat ćemo središta kružnicom iz središta osnovne kružnice (iako ni ona nije neophodna) – ali …

* * *

… kao što se vidi ona je iste veličine kao opisane kružnice 6 jednakostraničnih trokuta šesterokuta osnovne kružnice.

* * *

Sada te kružnice podijelimo „skraćenim postupkom“ njihovim radijusom, polazeći iz polova šesterokutne osnovne kružnice…

* * *

… pa zatim iz vrhova opisnih kružnica nastalih diobom iz polova. Svih šest opisanih kružnica šest trokuta šesterokuta osnovne kružnice svojim su lukovima veće (udaljenije od središta osnovne) nego luk osnovne kružnice.

* * *

Ako sada uzmemo u šestar radijus dužine središte osnovne kružnice – vanjski polovi opisanih kružnica jednakostraničnih trokuta šesterokuta – te opišemo čitav „sustav“, znamo da će taj radijus na osnovnoj kružnici dati svoj rezultat diobe njenog luka.

* * *

Počnemo li od pola osnovne kružnice sa diobom sve dok se ne vratimo u njega, dobit ćemo podjelu 36 = 360° ÷ 36 = 10°. Dakle, trideset i šest dijelova luka osnovne kružnice vršnih kutova središta 10°. Prema tome, možemo primijeniti 36-erokut kao uzorak za trisekciju kutova do 120°.

* * * *

Primjer:

Primijenimo sada 36-erokut kao „oruđe“ za trisekciju kuta većeg od 90° a manjeg od 120°. Nasumce zadamo kut sa lukom i tetivom, te simetralom.

* * *

Tetiva nasumce zadanog kuta je stranica jednakokračnog trokuta pa ga ucrtamo sa simetralama njegovih stranica. (Nasumce zadani kut ostavimo do kraja po strani.)

* * *

Dobili smo središte jednakokračnog trokuta i opišemo mu kružnicu (to je osnovna kružnica sheme).

* * *

Podijelimo je njenim radijusom i dobili smo šesterokut, iz vrha njegove tetive.

* * *

Jedan je simetralni trokut bio ucrtan i sada ucrtamo i drugi iz suprotnog pola osnovne kružnice.

* * *

Treću simetralu nije potrebno prikazati, kao ni tetive šesterokutnih segmenata osnovne kružnice poradi preglednosti. Ne bi trebali ucrtati ni kružnicu radijusa središta osnovne kružnice – središta segmentnih trokuta.

* * *

Iz tih šest središta opišemo kružnicu segmenata radijusa središte osnovne kružnice – središte segmenata šesterokuta.

* * *

Po uzorku prikazanom u shemi 36-erokuta podijelimo segmente kružnice …

* * *

… njihovim radijusom, na kojima smo dobili vršne polove.

* * *

Radijus središta osnovne kružnice, vanjske polove opisanih kružnica segmenata, uzmemo u šestar i počnemo iz vršnog pola osnovne kružnice diobu na njenom luku.

* * *

Na taj način smo podijelili radijusom osnovnu kružnicu na 36 dijelova.

* * *

Ako spojimo svaku četvrtu točku diobe luka osnovne kružnice počevši od vršnog pola koji je istovremeno i pol (krajnja točka tetive) nasumce zadanog kuta, dobili smo na luku osnovne kružnice a iznad luka zadanog kuta tri jednaka dijela.

* * *

Dakle, sada iz svake četvrte točke osnovne kružnice u pravcu vrha nasumce zadanog kuta povučemo polu-pravce. Oni dijele luk nasumce zadanog kuta na tri jednaka dijela.

* * *

Tako smo podijelili nasumce zadani kut na tri jednaka dijela shemom 36-erokuta (36 ÷ 4 = 9), kuta koji je veći od 90° a manji od 120°. Za kutove veće od 120° imamo nizove dvostrukih „oruđa“ – jednostavnijih, pa ćemo nastaviti sa 9-erokutom samo sa šestarom.

* * * * * *

4 komentara to “36-erokut”

  1. Ricardo napisao:

    Sorry Mr Tomo, that circle gives me 51 (17*3) and not 36 (its a tiny bit smaller 36) to make sure, draw 4 times the 9 and you can see for yourself. just a bit smaller. 😉 ohh Im back to the beggining … again…

  2. Ricardo napisao:

    Its impossible not to go bak to the beggining and reconsider everything again and again, but can you be more specific, wich part should I look at, at the Geo for Kids?? cheers.

  3. Brodic napisao:

    Meni je izašlo 30 dijelov
    a luka :-/

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv