free hit counters

Geometrijske enigme (edukacija za učenike srednjih škola)

13. POGLAVLJE

Ovo je poglavlje namijenjeno učenicima srednjoškolskog uzrasta na najjednostavniji način samo sa šestarom i ravnalom bez mjera, čisto geometrijski, korak po korak, stranica po stranica, crtež po crtež a sve sa svrhom da se eliminiraju nizovi zabluda koje već vjekovima kruže kao nemoguće konstrukcije pod enigmatskim uvjetima, tako da su se iz toga razvile bezbrojne priče, diskusije, štoviše posebno u krugovima onih koji sastavljaju udžbenike za učenike osnovnih i srednjih škola! To je sramotno i nevjerojatno. Iz toga su proistekle dogme alkemičarsko-ezoterijske naravi. Krivnja ne počiva na profesorima koji učenicima predaju geometriju, nego na onima koji pišu knjige po kojima učenici uče, a te knjige se drže srednjovjekovnih zaključaka i brane teorije nemogućeg koje dokazuju kako su neka rješenja nemoguća, umjesto da se uhvate posla i nađu rješenja! Tu im svakako smeta spominjanje svete (čitaj univerzalne) geometrije jer konačno mi smo ljudi koji sve stvaramo, te drugo ne postoji. Čudno malo! Kako onda to da ne možemo (čitaj ne znamo) ni u današnje vrijeme odgonetnuti obične geometrijske mogućnosti (Arhimed, da živi u današnjem vremenu bi shvatio u tri sekunde, ali onda on nije imao naše uvjete). Doduše, ni mi nemamo neke sasvim naročite uvjete, ali bitan je princip koji govori kako jezikom geometrije a stotinka stupnja ili milimetra tu ili tamo podliježu greški a uzrok tomu je još uvijek naše manualno crtanje. Ovdje ćemo pratiti dvije cjeline jer treća (trisekcija kuta) uopće nije bitna u graditeljskom drevnom smislu nego su važne dvije druge (opseg i površina kruga i smanjenja i udvostručenja. Barem kod drevnih kultura diljem svijeta). Zašto, ne pitajte se, a oni koji nagađaju „mlate praznu slamu“. Jer odgovor samo zna jedan, odnosno onaj koji je nama ljudima dao moralne smjernice prije 3300 godina na Sinajskoj gori. Stoga se koncentrirajte na čistu geometriju samo sa šestarom i ravnalom bez mjera, koristeći broj kao provjeru.

* * *

41301

Već prva greška je što se kružnica nekog radijusa (u šestar uzmite mjeru) ne dijeli punim kružnicama istog radijusa koje su onda pomoć za podjelu kružnice na 6 i 12 dijelova. Ne vidim razloga zašto smeta takozvani „cvjetni uzorak“ sa šest latica. Jer što su te diobene kružnice na 6 dijelova? To je osnovni prirodni kod. Stoga je dobro da je uvijek prisutan – vidljiv.

* * *

41302

Zašto bi onda smetali i simetralni pravci jer i oni koriste, iako ćemo koristiti samo četiri nasuprotna sjecišta kružnice. Ne smetaju ni oni jer i njihova pomoć je u mnogo čemu neophodna (kome to smeta, taj ne može sprovesti u djelo ovo što smo naumili).

* * *

41303

Jer ako iz sjecišta pravaca podijelimo kružnicu istim radijusom i prije dobili smo nove simetrale pa smo tako podijelili kružnicu na 24 dijela. No nama ne treba toliko. Koristi ćemo samo jedan dio toga, sa ciljem u početku zacrtanim – opseg i površina kruga.

* * *

41304

Pojačali smo malo ovaj „četverolist“. Druga dva smo izostavili jer nam je dovoljan jedan nastao sada polu-kružnicama istog radijusa iz 4 nasuprotna pola kružnice sa kojom smo počeli, a želimo još naći opseg i površinu.

* * *

41305

Tako možemo iscrtati opisni kvadrat ili četverokut kružnice koji će nam također pomoći za opseg i površinu kruga, odnosno njegove dijagonale. Još trebam jedan element.

* * *

41306

Šesterokutni zvjezdasti poligon kružnice podijeljen na svojih 6 dijelova nasuprotno, a te dužine su 3 dijametra kružnice. Zašto nam trebaju? Prvo, imamo za cilj opseg ili dužinu luka kružnice.

* * *

41307

Sada ćemo se malo pozabaviti sa brojem Π (Pi). Njegova je veličina Pi = 3,14 (28571)skratili su ga a u zadnje vrijeme i učinili (prilagodili nečem sličnom a vidjet ćemo kasnije čemu). Čega to formula 2rΠ ili pravilno d (dijametar – jedan) puta 3,14(28571′) = 3 dijametra i ostatak 14(28571′) što je taj ostatak (decimalni)1:7=0,1428571 dakle ispravno jedna sedmina ili 3 cijela i jedna sedmina dijametra. Znači Pi je ispravan opseg ili obim (nije Grčka nego drevno egipatska, jer je grad Pitom i mnogi drugi u Egiptu bio prije nego su Grci imali pisano pismo. Dakle treba naći sedminu. Brojevno je Arhimed imao pravo. Opseg je 22 sedmine. Čega? Dijametra kružnice.

* * *

41308

Sada je cilj naći sedminu (ponekad je i sedmerokut proglašen „nemogućom konstrukcijom“ samo sa šestarom i ravnalom bez mjera, to jest kao broj, ali zar to nije dio kao i deveterokut). Čudno! Onda je nemoguć i broj 3, jer jedno cijelo podijeljeno sa 3 = 0.3333””, pa čak i 8; 1÷8 = 0,125. Ali zato tu imamo šesterokutni zvjezdasti poligon (osim drugih opcija). Nije li ovo sedam dijelova kružnice. Pola stranice jednog trokuta šesterokutnog zvjezdastog poligona kružnice.

* * *

41309

A da se ne mučite, jednostavno provjerite. Uzmite 3 dijametra, a 1 dijametar podijelite sa sedam dijelova kao što ste učili u osnovnoj školi. Taj jedan dio dodajte dužini tri dijametra a zatim simetralama podijelite sve na četiri dijela. Jedna je četvrtina stranica četverokuta opsega kružnice a to odgovara ovom. Prva podjela na sedam kružnice iz četiri nasuprotna pola.

* * *

41310

Sada je jednostavno konstruirati kvadrat (četverokut) opsega, odnosno kvadrat Pi – broj je opseg kruga = 3,1428571” ili 22 sedmine. Pripada rodu sedmina, a stranica im je dakle 5,5 sedmina (4 x 5.5 = 22) a (22 ÷ 3,1428571 = čitaj tri dijametra i jedna sedmina, a on je unijet za površinu kruga. (Ubacite mjere, koristite formulu i vidjet ćete da je tako)

* * *

41311

A sada je jednostavno iscrtati kad se zna mjera dijametra i znamo da je opisni kvadrat kružnice jedno cijelo (sedam sedmina) a stranica opsega 5,5 sedmina pa iz toga proizlazi = dijametar na kvadrat podijeljen sa 7 puta 5,5 – površina kruga = pravokutnik. Bez obzira da li koristite staru ili novu formulu svejedno. Kako samo nikom nije palo napamet da je površina kruga rod pravokutnika?

* * *

41312

Vrlo jednostavno. Još dan danas se filozofira što je to Pi, a treba napomenuti prije izjednačenja dva pravokutnika koristimo pri računanju 7 i 5,5 te ako koristimo 14 onda i 11; ako 28 onda i 22 itd. I uvijek tako. Njihov je odnos 7 : 5,5 = 1,272727 a taj broj puta Pi (broj 3,1428571’) = 4 (dijametra) pa zato je lako iscrtati I opseg (Pi) a taj drugi broj nosi naziv PiT (dvostrukog broja Pi iscrtan kao dvostruka vrata).

* * *

41313

Ništa, nego izjednačimo dvije površine kruga, dva pravokutnika, a to je kao da smo izvadili korijen a to nam potvrđuje i brojevno “dvostruka vrata” d2 podijeljen sa 7 puta 5,5 = površina kruga (pravokutnik) te još jednom sve podijeljeno sa 7 x 5,5 = površina opsežnog kvadrata a korijen iz prve sume = stranica kvadrata površine kruga a korijen iz druge površine = stranica opsega (kao što vidite lakše je geometrijski prikazati).

* * *

41314

Ovo smo samo sveli na sve elemente koji su sudjelovali u svemu ovome u punom obliku ali bez kružnica (opisnih) da bi izgledalo jednostavnije. To bi bilo to. Tko ne vjeruje neka mjeri, a danas bi to moglo egzaktno – kompjutorskom simulacijom a ona je, djeco, tehnologija vašeg vremena. No pređimo sada na drugu “enigmu”, sistem udvostručenja i smanjenja po istom principu. Zašto jedno I drugo saznat ćete na kraju.

* * *

41315

Pošto je kocka trodimenzionalni objekt, već je u osnovnoj školi nastala kardinalna greška. Iscrtavanja se rade napamet, umjesto ako je zadana stranica da se koristi kao radijus na isti način kao što smo krenuli sa opsegom I površinom kruga. Dakle zadana dužina kao radijus kružnice podijeljene sa kružnicama istog radijusa prirodno sa svojih šest dijelova – upisni šesterokut kružnice. Sjecišta diobenih kružnica su kontrolne točke pravilnog iscrtavanja.

* * *

41316

Povežemo li nasuprotne polove pravcima dobili smo trodimenzionalan oblik, kocku, sa svojih 12 bridova gdje je prvi gornji i zadnji donji kut od njih 8 središte i zato vidimo samo 7 kutova trodimenzionalnog objekta. Zar ne bih učenicima osnovnih škola bilo lakše samo sa šestarom (u čiji se raspon uzme zadana dužina)I ravnalom (sa ili bez mjera, svejedno)?

* * *

41317

Kako trodimenzionalni objekt (kocka) ima 6 jednakih stranica (građevinsko-konstrukcijski rečeno: tlocrt, nacrt i bokocrt su isti) dovoljno je dakle iscrtati jednu kvadratnu stranicu sistemom koji smo već pomoću kružnice ispravno iscrtali – podjelom kružnice i sistema na 12 dijelova.

* * *

41318

Tu nam pomaže dvanaesto-dijelna podjela luka kružnice. Koristit ćemo samo 8 od 12 polova podjele luka opisne kružnice šesterokuta. Dakle to je tlocrt, nacrt I bokocrt, kvadrat stranica kocke zadane dužine (radijusa). Dakle bitnu ulogu igra luk kružnice. Izvan njega svaki drugi luk (drugog većeg radijusa)je povećanje, a unutar svakog drugog luka (manjeg radijusa) je smanjenje kocke. Logično. No, druga enigma je udvostručenje kocke.

* * *

41319

Odavno je već poznato da je dupla kocka čisto brojevno rješiva kao dužina stranice kocke puta treći korijen iz 2 ili dužina stranice kocke puta 1,259921. A mi to možemo sada kada znamo da je dužina stranice kocke radijus, ispisati formula = (navesti formulu). Nacrtati. Primijeniti ćemo građevinsko-nacrtni sistem, a pomoć su pravci dijagonala kvadrata kocke (kad bi ih sve iscrtali to bi bila podjela kružnice na 24 dijela ali nama je za kocku potreban samo jedan kvadrat.

* * *

41320

Ako netko pomisli da bi mogao dvostruki zvjezdasti šesterokutni poligon primijeniti za nacrt, vara se. On je namijenjen samo za diobu kocke na dijelove. U ovom slučaju je jednostavno. Ne treba nam ni kružnica radijusa (formula) nego nam pomaže upisni šesterokut kružnice I dijagonalni pravci kvadrata stranice zadane kocke (čitaj: tlocrta, nacrta ili bokocrta – svejedno). Svaki građevinar-izvođač zna što treba učiniti. Ako ima jednu stranicu (kvadratnu) poduplane kocke, ima sve. No nama je cilj ići dalje sa udvostručenjima: udvostručiti duplu kocku.

* * *

41321

Tu bi mogli primijeniti broj Pi ili njegov kvadrat jer se njegova stranica (manja je) za 7 stotinki od stranice podvostručene duple kocke. Zato ćemo iskoristiti prirodni kvadrat (jedan) ispravnog početnog iscrtavanja podjele kružnice njenim radijusom, te podjele pravcima na 12 i djelomično na 24. Sve je to dakle samo sa šestarom i ravnalom bez mjera.

* * *

41322

Nije čudno da je nedavno izmijenjen i broj Pi i radijus ili stranica podvostručene duple kocke jer pripada rodu broja sedam. Razlika je 7 stotinki, ali udvostručavanje ima svoje zakonitosti, no to je druga tema. Mi idemo dalje. Dvostruko smo poduplali kocku. Sada idemo na trostruko. Ona je najjednostavnija.

* * *

41323

Kod trostrukog udvostručavanja nema “filozofiranja”. To je stranica dijametra ili opisni kvadrat kružnice. Lukove kružnica ne koristimo iako nose nizove podataka, nego se držimo najkraćih putova udvostručavanja.

* * *

41324

Tako vidimo da se sistem neprestano ponavlja pa stoga koristimo “iskustvo” iz prvog udvostručenja pa nam je četvrto udvostručenje jednostavno. Ali za završna dva ovog dvostrukog sistema koristit ćemo “cvjetni uzorak četverolista” upisno opisne kružnice dvostrukog šesterokuta ili 2r raspona ili dužine stranice kocke.

* * *

41325

Ipak da ne kompliciramo. Pojednostaviti ćemo pomoću najjednostavnije načina koji ću vam poslije ovog pokazati tako da vrijedi za sva udvostručavanja I smanjenja ne samo ovog Sistema dvostrukog dijametra. Opišemo čitav sistem njegovom kružnicom i iz četiri suprotna pola istim radijusom (polu-kružnicama) iscrtamo “četverolist”.

* * *

41326

On je ustvari opisni kvadrat kružnice ili kocke dva radijusa. Pokazati će se kao šesto udvostručenje. Mnogi će se pitati zašto ne ucrtamo kocku u kocki? Jednostavno zato jer bi donijela krivu percepciju tro-dimenzijskog objekta ali ćemo približno to moći već danas – kompjutorskom animacijom. Ali zadaća ove enigma je: samo sa šestarom i ravnalom bez mjera, i to jednako uvećanje na sve strane.

* * *

41327

Dakle, ovo je sa građevinskog aspekta dovoljno (što će vam potvrditi svaki pravi građevinski izvođač, te na koncu svaki projektant stvara makete svojih građevina na temelju svojih nacrta u omjeru). Dakle, vidimo da pravci podjele na 12 sijeku opisni kvadrat sistema. Povežemo ih dužinama. One sijeku pravce podjele na četiri, tvoreći križišta.

* * *

41328

Križišta povežemo dužinama. To je tlocrt petog uvećanja kocke. Stranice su veličine radijusa a šesto je uvećanje opisni kvadrat Sistema. I ta spoznaja upravo će nas dovesti do najjednostavnije načina smanjenja I uvećanja, a ona vodi daleko dalje jer se sistem koristio u drevnim vremenima kao prirodni kod ali u svrhu i smisao nećemo ulaziti.

* * *

41329

Ovaj početak jednostavno sagledajte sami. Samo upamtite: kocka zadane stranice (radijusa) njen nacrt.

* * *

41330

Počnimo sa njenim tlocrtom i tlocrtom kompletnog Sistema.

* * *

41331

Sada jednostavno pratite kako četverokut iz četiri nasuprotna pola otvara svoj “red” ili rod udvostručavanja i smanjenja. Nepogrešiv sistem jednostavne geometrije samo sa šestarom i ravnalom bez mjera (smanjenje kocke ćemo najaviti točkastom crtom da bi se shvatio sistem.)

* * *

41332

Primijetili ste da se specifičnost “roda” očituje kao jeka. Naprosto jednostavan postupak koji bi vrijedio u nedogled ne samo za dvostruko dijametralni sustav nego i za trostruko, četverostruko, itd., dakle imamo prvo smanjenje kvadrata jedne stranice kocke.

* * *

41333

A ovo (točkasta crta) je najava drugog smanjenja kada stranicu zadane dužine kocke dijelimo sa korijenom iz 2 (trećim) ili sa 1,259921 jednom a onda dobiveno još jednom. Sigurno se pitate do kuda smanjenje seže? Ima sve to svoj smisao a vezano je za drevne građevine, no to nije naša tema nego ćemo ići po sistemu “kako gore tako dole” ili koliko uvećanja toliko i smanjenja.

* * *

41334

Ovo (smanjenje malo je napornije samo iz razloga početnog malog radijusa (čitaj: veličine zadane dužine stranice kocke), a opet poradi A4 formata papira, no bez obzira na to sistem je egzaktan, dakle drugo smanjenje.

* * *

41335

A sada sa trećim smanjenjem prelazimo u jednostavan postupak jer je treće smanjenje pola radijusa zadanog nam radijusa. Zato ćemo je ostaviti do kraja bez komentara. Cilj nam je jednostavno najavljen: doći do zadnjeg, pozitivnog šestog smanjenja, odnosno do stranice kocke, četvrtine stranice zadane u početku.

* * *

41336

Dalje ne smijemo. Prešli bi u negativnu sferu trećeg korijena iz dva, odnosno u decimalni decimalnoga (šalim se) ali istini za volju sve to vodi do jedne druge “nepoznanice” ali ona nije za srednjoškolski uzrast. Ovo je sada samo završna slika udvostručenja i smanjenja zadane kocke.

* * * *

ZAKLJUČAK

Što se dakle treba zapamtiti: ono što znamo, ono što smo znali i ono što smo saznali.
Kocka je pravilno geometrijsko tijelo, kažemo trodimenzionalno sa svojih 6 jednakih kvadratnih ploha, svojih 8 kutova i 12 bridova. No, to znamo. Netko je davno stvorio od nje priču koja se pretvorila u takozvanu enigmu; kako i zašto ne znam ali se čudim jer puno je onih koji su tijekom vjekova ipak znali ali su je čuvali (ili iz nekog razloga čuvaju to znanje) bez obzira ako je trebalo problem riješiti geometrijskim putem, a kako je predaja (odnosno dvije Grčkog porijekla) bila građevinske prirode onda je trebalo primijeniti i građevinske metode. Dakle, nacrt, koji po običaju sadrži tlocrt, prednje i zadnje bokocrte, a kako je kocka sa svih svojih 6 ploha jednaka onda je logično da je važno bilo kao tlocrt ili bokocrte naći mogućnost iscrtavanja jedne njene kvadratne plohe te plohe njenog udvostručenja jednako na sve strane. Već prvi geometrijski koraci pokazali su se nedovoljnim jer se geometrija površno uči i ne daje rezultate, one koji bi proizišli kada bi se iscrtalo kako to treba umjesto što se skraćuje a potom balansira i danas već nekim čudnim “akrobacijama” koje učenike više zbunjuju nego uče. No, kako bilo da bilo, ustanovili smo da je to “enigma” geometrijsko-građevinske prirode i da je rješiva po formuli dužina (čitaj: radijus)puta treći korijen iz dva. U osnovi je bilo pronaći najjednostavniju metodu udvostručenja, ne samo jednom nego univerzalni sistem, a i umanjivanja (dijeljenjem radijusa sa trećim korijenom iz dva). Mogu zahvaliti Gospodu Bogu da mi je dao “vodiča” duha koji je, čini se, dosta strpljiv sa mnom jer zaista nije mi bilo lako u ovih sedam dana pronaći najjednostavniji način, a taj duh uvijek priziva u pamet riječi raspetoga na kojima počiva ova moja kršćanska civilizacija: “tko traži taj I nađe”. No, kad si pomislim da enigma traži tko zna otkada iscrtano rješenje, što je onda sedam dana! Istina je da sam malo drugačije, kompliciranije rješenje poslao matematički relevantnim institucijama svuda po svijetu radi recenzije, ali odgovora pozitivnog ni negativnog nema, pa sam izgleda shvatio da su ova geometrija i njezine spoznaje za vas učenike, buduće ljude. Zato sam si i dao ovo malo truda. Do nedavno su građevinske metode zahtijevale i maketu al to se u vašem mladalačkom svijetu već mijenja posredstvom kompjutorske animacije. Ako primijenite mjeru, lako ćete potvrditi ovo iz ovog poglavlja, a ja ostajem u ovoj geometriji samo sa šestarom i ravnalom bez mjera.

* * * *

KAMENA PRIČA

Proći će znam sve ovo
Svitanja će ostati nijema
Kao kamen
Kao ova zemlja
Ova kamena gruda
Ostati će samo uspomena
Ostati znamen
Priča vala usamljenih
Šapat
Šapat ima kamenih spruda.

Proći će sve ovo
Iako ništa drugo biti neće
Ništa drugačije
Niti novo.

Sve to već bilo je
Bilo davno
Drevno da li
Prolaze svjetovi
Vjetri
Pokoljenja
A od svega samo znamen
Ostaje
O kojem onda šapuće
O kamen
Kada ga na obali svojom pjenom
Prekrivaju vali
A onda sve pričom ostaje
Pričom kamena
Sve.

P.S.
Dragi moji prijatelji, čitatelji ovih stranica, kako mnogi od vas znaju da sam pjesnik, odlučio sam da vam na kraju svakog poglavlja poklonim jednu svoju pjesmu. Ovo je jedna od posljednjih nekoliko stihova od već preko 350 tisuća napisanih u zadnjih 10 godina (ne vjerujem da ću sve to ikada moći iz financijskih razloga objaviti). Nadam se da ćete je shvatiti. To je nažalost (iz poznate nam povijesti) priča ljudskog roda.

Hr – Rijeka, 1. Srpnja, 2014
Autor: Tomo Periša
Webmaster: SLIM
Engleski: S.F. Drenovac

 

One Response to “Geometrijske enigme (edukacija za učenike srednjih škola)”

  1. Ricardo napisao:

    Im gonna tell you again Mr TOmo. I made a simple equation that it belongs to ALL THINGS. Einstein forgot 3 symbols in his E=mc2 🙂 this equation is not a multiplication or a division, its both. Like any other relation.

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv