free hit counters

Druga geometrijska enigma – Edukacija za djecu

16. POGLAVLJE

DRUGA GEOMETRIJSKA ENIGMA

OPSEG I POVRŠINA KRUGA (EDUKACIJA ZA DJECU)

Svrha i smisao svih ovih geometrijskih prikaza bila je jednostavno dobra namjera, generacijama koje dolaze donijeti nizove jednostavnih rješenja koje smo mi ljudi tokom vjekova «preletjeli» ili predvidjeli pa su ostale «nemoguće nepoznanice», a onda se razigrali geometrijom i sa smislom i sa besmislom ne shvaćajući da je čitava priroda oko nas geometrijski sklad, a svako odstupanje degradirana percepcija i same naše ljudske prirode, «bolest» zdravog organizma. Ne može se reći da se pojedinci kroz vjekove nisu trudili (vjekove naše pisane povijesti) iako nisu imali društvene uvjete za to (jedan od primjera je Arhimed). Tu treba posebice istaknuti doba grčkih filozofa. Kasniji vjekovi, srednji vijek bili su «mrak» postojanja čovječanstva iako je i tu bilo nekoliko imena, ali od tada se rodila «teorija» ili filozofska misao, a posljedica su bile mnoge nemogućnosti do dan danas tako da je jedini način izaći iz toga «posegnuti» za drevnim vremenima, a najsigurnije je upitati onog koji je čisto geometrijske projekte, uz moralnih 10 smjernica dao čovjeku «Mojsiju» koji su onda s lakoćom pretočeni (po predaji) u djela. Konačno sve je to potvrdio i onaj «raspeti». Kako? Zatvori se u svoju sobu i pitaj. Koliko god to današnja nauka «puna sebe» negira ili ismijava, ali to je najbolji put i najjednostavniji. Potvrda sam i ja. Upitajte bilo koga na svijetu da li je itko na svijetu u roku od dvije godine i nešto više donio toliko geometrijskih novina. Ja, običan čovjek, danas evo 63 godine, radnik, pjesnik (da ne ponavljam o pjesmi još- u zadnjih deset godina 11 000 pjesama ili preko 300 000 stihova). Ne bih ja to mogao da nisam «uskrovitosti» upitao onog koji je na Horebu prije 3300 godina rekao: «Zovite me Jahve». Kako sve to sprovesti u djelo? Evo preko ovih novih medija, ja nikada to ne bih mogao klasičnim «knjiškim» putem. Ovako još ide tako da si mogu «priuštiti» i ponavljanje (a ne upite mnogih iz svijeta) tražeći što bliskiji način današnjem geometrijskom učenju kao i u ovom poglavlju o opsegu kružničkog luka i površini plohe kruga (univerzalno) samo sa šestarom i ravnalom bez mjera te o broju pi (Π), a samim time odati poštovanje i tragičaru «društvenih prilika» onih vremena- Arhimedu.

* * *1601

Onoga trena kada smo u raspon šestara uzeli neku veličinu i ubodom igle u jednu točku pokrenuli jedan geometrijski proces (kružni), dobili smo omeđen prostor koji je krug koji ima svoju granicu- kružni luk ili kružnicu i krug postaje kružna ploha. Kružnica ima svoju dužinu ili opseg, a kružna ploha svoju površinu.

* * *1602

Ako šestar istog raspona zabodemo u jednu točku punog luka (360º) ili opseznog luka kruga- kružnice ćemo vidjeti da taj raspon šestara dijeli kružnicu na šest jednakih dijelova. To je prirodna konstelacija, zakonitost koju ne možemo izbjeći. Taj raspon šestara nazvan je radius ili polumjer. Ako spojimo nasuprotne podjele ili polove koji prolaze kroz središte, vidimo da ima onda 6 radiusa ili 3 dvostruka radiusa pa smo ih nazvali promjeri ili dijametri.

* * *1603

Ako sad spojimo susjedne polove dobili smo 6 jednakostraničnih trokuta pa kažemo dobili smo šesterokut. Uočeno je odmah da tih 6 dužina koje su jednake veličine kao šest radiusa moraju biti manje ukupne dužine od ukupne dužine kružničkog luka. Sada se javlja problem koji traje do dana današnjeg. Kako znati koje je veličine kružnička dužina i kako je ucrtati geometrijski? Mjerenjem. Ne donosi egzaktan rezultat. Bez mjerenja- rekli su nemoguće, pa je onda nađen «vjekovni kompromis» takozvan odprilike brojevno. Tu ćemo malo «razmisliti».

* * * *

RAZMIŠLJANJE

Kaže se da su drevni Egipćani bili izvrsni poznavaoci geometrije. Što je tu čudno? Čudno je i to da su kasnije drevnim grčkim misliocima koji su tražili znanja na području geometrijskih i matematičkih znanosti neprestano govorili ne samo da su to znanje dobili nego čudnu priču o tome kako je puno prije tadašnje grčke civilizacije postojala razvijena grčka civilizacija kojoj se izgubio svaki trag puno prije, a sami Egipćani da su dobili znanje od svojih bogova. Bezbroj je priča i legendi i mitova na tu temu, ali to nije predmet ovog razmišljanja nego nešto drugo. Kakav je to morao biti genijalni um koji je nacrtao krug, uočio njegove zakonitosti tako precizno, a vidjeti ćemo i dalje kako jednostavno i precizno i to u vrijeme prije 3000 godina i više sudeći po predajama čak i prije bilo kakvog pisma bilo gdje, a to svjedoče i drevne građevine i ostaci egzaktno geometrijsko načetog ili obrađenog kamena sa idealnim pravilnim geometrijskim plohama. I biblijska predaja stvaranja govori o «onima koji su posjećivali zemlju-anđelima». I upravo još nešto navodi na razmišljanje. Kako se kaže da je Dan božji u odnosu na ljudski dan tko zna koliko puta tisuća duži tada evolucijski gledano, a promatrajući sa stanovišta zadnjeg djela- čovjeka, evolucijsko-biblijski ciklus je kompatabilan našem poimanju evolucije, ali jedna mala zagonetka u stvaranju je drugačija, u dvojakom smislu. Prvo mislimo da je svemir nastao principom velikog praska, a onda razvojem planetarnih sistema oko zvijezda matica te dalje. No, drugo nešto o čemu se ne razmišlja. U biblijskoj predaji se govori da je u trećem ciklusu (danu) stvoreno bilje, drveće sa plodovima sa svojim sjemenjem za razmnožavanje, a tek u četvrtom ciklusu- svjetlost i izvori svjetlosti- sunce (matična planetarna zvijezda). Lapsus u prepirci ili? Sa današnjeg promatračkog stanovišta- nemoguće. Ili je bilo moguće? Tada? Čudna pitanja. Nedokazivo. Čudna su i geometrijska pitanja. Broj pi. Kako je Arhimed znao za broj pi, a nije ga znao nacrtati? Jer točno je da ga je znao jer inače ne bi se «mučio» geometrijski ga riješiti, a sigurno bi ga riješio da ga «uvjeti» nisu prekinuli. Zbog toga nam je vjekovima i ostala nepoznanica broja pi jer se mislilo da je broj broj, a ne geometrijski kod- univerzalan, jednostavan. Gdje je onda «previd» ili geometrijski lapsus, a znan i upotrebljavan prije svakog pisanog (nama znanog) znaka koji zovemo i broj i slovo. Kako dakle?

* * *1604

Podjela dužine na dijelove (slika). Dakle, cilj je izračunati opseg. Cijelu zbrku u geometrijskom smislu donio je jedan broj, a posebno u današnjici. Razigrali su se matematičari srednjevjekovnih kasnijih vremena (a i danas) i ono matematičkog truda jednostavno još i skratili. Broj pi. Došlo se do broja pi, oruđa koje je trebalo imati svoju svrhu na temelju Arhimedovih istraživanja, a drevne su predaje govorile: «Ne poznajemo decimalni broj». Pa je nastalo jednostavno «svašta». Što su govorile: «Poznajemo cijelo i dijelove cijelog». Što je to cijelo? Koji broj. To je jedan. A što je dio? Ako se jedan podijeli sa bilo kojim brojem dobije se dio. A to djeca danas u školi uče. Kako podijeliti dužinu (1) na dijelove bez mjerenja? Takav je i broj pi. Arhimed je rekao da je to broj 22 kada ga podijelimo sa 7. Imao je pravo. A 22 : 7=3,14285715. Vidjevši takav decimalni broj rečeno je neka se skrati poradi računanja, greška. Ako nešto skratiš to je kao da si mu odrezao pripadni dio jer 1 : 7=0,14285715 ili jedna sedmina. Tako je broj pi 22 sedmine ili 3 cijela i 1 sedmina. Tako kaže broj (drevan). Pa kako nacrtati broj pi? Geometrijski?

* * *1605

Ako kažemo da je Arhimed postavio osnov, netko drugi (a o tome nas nisu učili niti danas uče našu djecu- tko, tko taj drugi) shvatio je kako može dužinu podijeliti bez mjerenja na dijelove. Ali kako je geometrija «siroče» matematike broja, a bila je nekad izuzetno važna (svjedoči i Platon nakon kuge u Ateni- legenda o podupljavanju Zeusova žrtvenika), a danas uz izuzetno dobre stvari rade se «akrobacije bez svoga prirodnog sklada, pogotovo u osnovi geometrijskog nauka osnovnih škola tako da nije čudno da djeca u većini ne vole geometriju jer nije dječje jednostavna. Kako bi bilo lako Arhimedu da je znao diobu dužine na dijelove bez mjerenja? A sad još kompliciranije jedni kažu nije 22 nego 44 i tako stalno, a ispred nosa stoji. Još jedna iritirajuća stvar se našla. Reklo se je ispravno. Opseg je dužina. Reklo se: «Evo formule 2rΠ». Evo «previda» da se ne shvati.

* * *1606

Nisu li 2r (dva radiusa) jednaka 1d (jednom dijametru)? Zar nije onda jednostavnije 1dΠ (jedan dijametar puta pi)? Kako bi se radovao Arhimed! Oput bi trčao Sirakuzom i uzvikivao «Eureka». Svako dijete sedmog razreda (trinaesterogodišnjak) tu dužinu može izcrtati jer je izuzetno lako sada izcrtati 3,14285715 d ili 3 cijela i 1 sedminu dijametra, a Arhimed bi izcrtao 22 dijametra i podijelio ih na 7 dijelova i imao bi dužinu opsega. Dakle, na pravac prenijeti šestarom 3 dijametra kružnice (diobe kružnice njenim radiusom na 6 dijelova), a četvrti dijametar podijeliti bez mjerenja na sedam dijelova i pridodati tim dijametrima i imamo dužinu opsega bilo koje kružnice. Zašto je brojevno važan taj decimalni dio broja pi (1 : 7=0,142857415 ili jedna sedmina)? Dakle, 3 cijela imaju 21 sedminu plus 1=22 sedmine. Samo je tako matematički «egzaktno». Skratiti znači «osakatiti». Sada možemo jednostavno reći: opseg bilo kojeg kruga je 3 cijela i 1 sedmina njegova dijametra. On je nacrtan opseg, a nacrtan je kao dužina. Dakle, možemo dalje. Kako?

* * *1607

Ali, prije nego krenemo dalje izcrtajmo dužinu opsega kao kvadrat po pravilima koje smo naučili u ovoj geometriji samo sa šestarom i ravnalom bez mjera (dakle, bez mjerenja) jednostavno bez skraćivanja simetriranjem dobivene dužine na 4 dijela.
Primjetili smo da pri izcrtavanju jedne sedmine bez mjerenja nije bitan kut pravca (p) nego zadnja točka sedmine (ili bilo kojei) podjele pravca i zadnja točka zadane dužine, a onda usporednicama (dva trokuta) podijeli se dužina na sedam jednakih dijelova (ili bilo koliko). Govorim ovo zato jer su mnogi zaboravili (od starijih čitatelja) osnove osnovnoškolske geometrijske «lektire».
No, krenimo sa konstrukcijom kvadrata opsega tako da na pravac prenesemo jednu četvrtinu ukupne opsežne dužine koja je nastala zbrajanjem na pravcu 3 dijametra plus jedne sedmine dijametra.

* * *1608

Rezimirati ćemo sada opseg, geometrijski način kako dolazimo do njega, kvadrat opsega te usporedbu sa opisnom mu kružnicom.

* * * *

REZIME OPSEGA KRUGA

Ako nacrtamo kružnicu nekog radiusa omeđili smo prostor- krug. Radius dijeli opsežni luk kruga na 6 radiusa ili 3 dijametra. Međutim, opseg je veći od 3 dijametra ili 6 radiusa. Arhimed je ustanovio da je to odnos ili omjer 22 : 7, odnosno upisano je i dan danas 2rΠ. Kako izcrtati geometrijski jer se dobije broj koji se smatra nemoguće izcrtati 3,14285715. No, bilo bi razumnije da se umjesto 2r odmah upotrijebila oznaka za dijametar ili promjer, a da se umjesto decimalnog broja koji je podložan u matematici skraćivanju upotrijebio razlomački broj jer kod njega nema skraćivanja već jasno govori da je opseg 3 cijela i 1 sedmina dijametra. A to je lako, bez mjerenja nacrtati kao dužinu, a kada smo dobili dužinu 3 cijela i jedan dijametar tada je simetriranjem podijelimo na 4 dužine. Uzevši jednu četvrtinu po principu konstrukcije četverokuta dužinu opsega ucrtati smo, dakle, kao kvadrat (četverokut) opsega. U isto središte, usporedbe radi, ucrtali smo kružnicu početnog radiusa i vidimo da je kružnica četverokuta opsega veća nego kružnica (opsežna) kruga početnog radiusa. To bi bilo o opsegu, njegovoj veličini i djelomično o broju pi. Što tražimo dalje i na temelju ovog? Tražimo površinu plohe kruga, ali i da je potvrdimo geometrijski i to bez mjerenja- odnosno šestarom i ravnalom bez mjera. No, tu se susrećemo sa nečim novim, nepoznatim do sada. Zašto? Jer počinjemo obrnuto iz neomeđenog prostora, jer sam pi je dio nečeg, dio broja 4. Što to znači? Pa pogledajmo.

Da bi bilo nacrtno jasnije, podvostručiti ćemo i dijametar kružnice i dijametar opisne kružnice četverokuta opsega.

* * *1609

Dakle, zbog jasnoće geometrijske slike udvostručili smo sve parametre dobivene geometrijskim izcrtavanjem opsega i njegova kvadrata. Na osnovu dijametra kao osnovice konstruiramo četverokut 4d (dijametar) sa središtem i simetralama stranicama.

* * *1610

Sada u njegovo središte ucrtamo i kružnicu radiusa i kružnicu opsega i četverokut opsega. Kako vidimo, logično, početna kružnica kruga je upisana kružnica četverokuta. Zašto onda krećemo od kvadrata opsega 4d, a ne od 3 cijela i 1 sedmine d? Moramo razmisliti!

* * * *

O BROJU 4, PI I PIT

Lako je izračunati, ali teško nacrtati, a pogotovo kao univerzalni kod samo sa ravnalom bez mjera i šestarom bez mjerenja površinu kruga tako da na kraju ostaje ono što nama ljudima uvijek ostaje. Sumnja ako se ne uvjerimo kako su stari govorili «naočigled» jer naočigled se može provjeriti, izmjeriti, potvrditi ili ne potvrditi, reći će netko. Veliki umovi matematike su zaključili. Nije baš tako. Dan danas površina kruga je enigma jer ju treba izcrtati navedenim pravilima samo sa ravnalom bez mjera i šestarom. Treba znati samo na takav način je univerzalna geometrija ili geometrija univrzuma, geometrija sklada, prirodna, zato se i zove Sveta (naš ljudski izraz). No, kako bilo da bilo mi možemo vidjeti geometrijski prikaz koji može savladati relativno lako dijete osnovne škole (kod nas 14-godišnjak) jer u tom dobu djeca su naučila što je krug, kružnica, dijametar, radius, opseg pravilnih likova, podjelu dužine na dijelove bez mjerenja, računski opseg, površine likova (iako ne tako egzaktno, ali naučila su djeca). Što onda nedostaje? Nedostaje vizualni prikaz, a to je jednostavno sa ovim znanjem 13- 14- godišnjaka. 4 ili četverokut. Četiri dijametra svake kružnice. Opisni četverokut svake kružnice ili površine d² (dijametar na kvadrat). Kako sad? Kada broj 4 podijelite sa pi brojem ili opseg 4 dijametra sa 3 cijela i 1 sedminom dijametra dobivamo jedan broj (4 : 3,14285715=1,272727). Obrnuto: 3,14285715 x 1,272727=4. Što je onda decimalni broj 1,272727? To je 14 jednaestina. Taj znak iz drevnosti nije dobro protumačen. Bio je i ostao slovo. O njemu ćemo više na kraju, a i nema ga ucrtanog u kompjuterskim programima, a niti se uči u školama bilo gdje na svijetu, a sada se može izcrtati «naočigled» površina kruga- kao kvadratna površina jer sada formula jednostavno glasi: d² (dijametar na kvadrat- dijametar puta dijametar) podijeljen sa 14 (dijelovi 14 x 14 kvadrata dijametra- četverokuta dijametra) i podijeljena sa 11= površina kruga- njegov kvadratni- četverokutni prikaz. Pa pogledajmo.

* * *1611

Ovaj način kao što djeca uče u školi podjelu dužine na dijelove nije neophodan (ali to činimo po radi objašnjenja). Idealno bi bilo podijeliti stranice opisanog četverokuta zadanog kruga na 28 dijelova (odnos 1,272727 ili 14 jednaestina isto je kao 28 podijeljeno sa 22). Zašto nije neophodan?

* * *1612

Jer već jedan dio omjera imamo, a to je četverokut opsega kruga. Dakle, imamo površinu plohe kruga kao pravokutnik. Stranica (  x 11) x d

* * *1613

A onda je sve lako. Produžene stranice četverokuta opsega kruga na stranice opisanog četverokuta kruga ili četiri dijametra. Vršne četverokue podijelimo sa 2.

* * *1614

Te smo na taj način dobili izjednačenje dvije površine dva pravokutnika koje su dvije površine plohe kruga, a korijen nam daje stranicu četverokuta površine plohe kruga. I to je to. Izcrtano ono što se do sad moglo računski samo sada i nacrtno (univerzalno za bilo koji krug znali mu mi mjere radiusa ili ne).

* * * *

ZAVRŠNA RIJEČ

Što nam je poručilo ovih dvadesetak stranica geometrije samo sa šestarom i ravnalom bez mjera. Otkrilo nam je način pristupa pri razotkrivanju nepoznatog. Poručilo da treba vrednovati one koji su barem jedan elemenat neke nepoznanice riješili i priznati im slavu, a ne ih odbaciti iz knjiga za djecu (govorim o učeničkim knjigama). Jednog su ponovno usmrtili. Arhimed. Pitam osnovnoškolce da li vam pričaju priču kako je Arhimed u svoje vrijeme istraživao fizikalne zakone (zakone prirode), kako je gol trčao gradom i uzvikivao Eureka i kako je poginuo nakon pada Sirakuze koji je branio pretečom lasera još prije 2500 godina. Ništa od toga. Ostala je posuda zvana Eureka, a upravo je to «pričanje» bilo poticaj nekada našoj dječjoj masi da nas pokrene i postanemo «fantasti». Zrno koje jednom donese svoj rod jer je «zrno» uzrok tokom vremena i prostora bezbroju zrnja. Sve to ne služi na čast tvorcima udžbenika za djecu iako se rado kite akademskim kolajnama časti. U ovom poglavlju treba vrednovati i razmišljanje Einsteina o promatranju nečeg sa više stajališta jer razina stajališta govori o istoj stvari više pojedinosti, a to je onda višedimenzionalnost, a dobro znamo da naše znanje počiva na osjetilima. I dobro je koliko god to izgleda paradoksalno: «Ne vjerujem dok ne vidim». U geometriji to znači da ako ne mogu nešto izcrtati onda uzalud uvjeravanje brojem, a posebno u ovoj vrsti univerzalne, prirodne geometrije u kojoj nema neravnoteže, asimetrije, a koja ne treba mjerenja nego je samo sa šestarom i ravnalom bez mjera (nekad je «mjerač» imao mjerno uže i mjernu trsku, ali fantastičan duh znanja i umijeća- o mnogima govori i biblijska predaja), a tu ste saznali i za znak pit (pišem ga skraćeno, ali za njega ne postoji oznaka slova jer je sačuvan, neotkriven grčkim drevnim matematičarima ili čak iz nekog razloga «skriven»- kao što su Pitagorejci svojevremeno skrivali svoja znanja), ali nije bitno. Bitno je da sada znate rješenje enigme, površine plohe kruga samo sa šestarom i ravnalom bez mjera.

HR- RIJEKA: 07.03.2013.
AUTOR: TOMO PERIŠA
WEB: SLIM
PRIJEVOD NA ENGLESKI: VESNA BILIĆ (vesnasu@live.com)
PRIJEPIS TEKSTA: SUZANA KNEŽEVIĆ (suzanaknezevic58@gmail.com)

Leave a Reply

Powered by WordPress | Designed by: suv | Thanks to trucks, infiniti suv and toyota suv